Równania różniczkowe zwyczajne

Dzisiejszym tematem opracowania są równania różniczkowe zwyczajne. Na początku warto sobie powiedzieć, że wyróżniamy równania różniczkowe cząstkowe oraz równania różniczkowe zwyczajne. Pierwsze wspomniane równania są raczej trudniejsze, ich zapis wydaje się być bardziej skomplikowany. Ponadto zawierają one zmienne niezależne, funkcję tych zmiennych oraz jej pochodne cząstkowe. Równanie różniczkowe zaś posiadają tylko jedną zmienną niezależną, nieznaną funkcje wyżej wspomnianej zmiennej oraz jej pochodne. Przykłady wyżej wspomnianych równań przedstawia grafika poniżej:

Teraz czas powiedzieć sobie coś o definicji równania różniczkowego zwyczajnego. W takim równaniu występuje niewiadoma funkcja y. Jest ona jednej zmiennej x. Ponadto, w takim równaniu występują pochodne tej funkcji, a więc y’, y”, … , . W zależności od najwyższego rzędu pochodnej, możemy określić, którego rzędu jest te równanie. Mimo to, ogólny wzór równania różniczkowego zwyczajnego przedstawia się następująco:

Spróbujmy teraz nauczyć się rozpoznawać, jakiego rzędu jest dane równanie różniczkowe. Tak jak wyżej napisałam, rząd pochodnej stanowi to, jakiego rzędu jest dane równanie.

—-> Te równanie ma w sobie najwyższą pochodną, która jest pierwszego rzędu, dlatego też jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu.
—->Jak widzimy, te równanie ma w sobie więcej pochodnych. Aby określić rząd równania, należy znaleźć pochodną najwyższego stopnia. W naszym przypadku jest to pochodna drugiego rzędu, a więc mamy do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego rzędu.
Tak samo będziemy postępować z każdym innym równaniem różniczkowym zwyczajnym, aby określić rząd takiego równania.

Postać ogólną równania różniczkowego pierwszego rzędu stanowi równanie postaci: Ponadto, całką ogólną równania wyżej pokazanego jest funkcja: