Równania wielomianowe

Równanie wielomianowe pojawia się na każdej maturze podstawowej jako zadanie zamknięte i/lub zadanie otwarte warte 2 punkty. Właściwie nie wymagają one od nas więcej, niż równania kwadratowe i liniowe, które przerabialiśmy wcześniej. Zobaczmy to od razu na przykładach:

Zadanie 1:
Rozwiąż równanie
Rozwiązanie:
Musimy zastanowić się, kiedy wyrażenie po lewej stronie będzie równe zero. Zauważ, że jest to iloczyn trzech wyrażeń w nawiasach: , i . Wiemy też, że iloczyn jakiegokolwiek wyrażenia i liczby zawsze jest równy (to znaczy, że cokolwiek pomnożymy przez , otrzymamy ).
W takim razie, jeżeli którekolwiek z tych trzech wyrażeń będzie równe , to cały iloczyn też będzie równy , czyli równanie będzie spełnione.
wtedy, gdy
wtedy, gdy
wtedy, gdy
Stąd to równanie ma 3 rozwiązania:

Każdy następny przykład będziemy rozwiązywać w podobny sposób. Na maturze podstawowej zawsze wielomian jest podany w postaci iloczynu wyrażeń stopnia drugiego i pierwszego, a po prawej stronie równania stoi .

Zadanie 2:
Rozwiąż równanie .
Rozwiązanie:
Po lewej stronie mamy iloczyn wyrażeń , oraz . Dla każdego układamy osobne równanie:
Z pierwszego dostajemy po prostu
Drugie: wtedy, gdy
Trzecie: wtedy, gdy lub
Otrzymaliśmy 4 rozwiązania:

Zadanie 3:
Rozwiąż równanie
Rozwiązanie:
to sprzeczność, więc nie otrzymujemy stąd żadnego rozwiązania
wtedy, gdy lub
Odpowiedź:

Zadanie 4:
Ile rozwiązań ma równanie ?
Rozwiązanie:
wtedy, gdy (wzór skróconego mnożenia)
wtedy, gdy
wtedy, gdy
Zwróć uwagę, że pierwsze i trzecie wyrażenie dały nam to samo rozwiązanie. W zadaniu pytają nas o to, ile różnych rozwiązań ma to równanie. A ma tylko dwa: oraz
Odpowiedź: To równanie ma 2 rozwiązania

Zadanie 5:
Oblicz sumę rozwiązań równania
Rozwiązanie:
1)
2) wtedy, gdy lub
3) wtedy, gdy
4) wtedy, gdy
Mamy obliczyć sumę, więc dodajemy do siebie wszystkie otrzymane rozwiązania:

Odpowiedź: Suma rozwiązań równania wynosi