Równania wielomianowe

Równania wielomianowe

W(x) = 0
Aby rozwiązać równanie wielomianowe należy doprowadzić do postaci
W(x)= 0, rozłożyć na czynniki W(x), a następnie skorzystać z własności iloczynu a b = 0 , wtedy i tylko wtedy a = 0 v b = 0

(2x-1) (x2 -1) = 6(x+1)
2x3 -2x -x2 +1 = 6x +6
2x3 -x 2 -8x -5 = 0 –> W(x)

W(-1) = -2-1+8-5= 0

| 2 | -1 | -8 | -5 |
-1 | | -2 | -3 | -5 |
2 | -3 | 5 | = |

(x+1)(2x2 -3x -5 ) = 0
∆= 9-4 2 (-5) = 49
√49= 7
x = = =
x= = -1
Rozwiązaniem są {-1, 2

2x 5 +3x 4 = 2x +3
2x5 +3x4 -2x -3= 0
2x ( x4 -1) -3(x4 -1) =0
(x4 -1)(2x -3 ) = 0
x4 -1 = 0 2x -3 = 0
x = 1 v x= -1 x=

Rozwiązaniem równania są { 1, -1 , }

(x 2 + 2x ) 2 – x2 = 0
x4 +4x 3 +4x 2 -x 2 = 0
x4 +4x 3 + 3x 2 = 0
x 2 ( x 2 +4x +3 ) = 0
x 2 = 0 v x2 +4x +3 = 0
x = 0 ∆= 16-4 3 = 4 , √4= 2
x= -3
x= -1
Rozwiązaniem równania są cyfry { 0, -1, -3 }

2x 6 -8x 4 -2x 2 +8 = 0
(2 x 6 -8x4 ) + (-2x 2 +8 )= 0
2x4 ( x2 -4 ) -2 ( x 2 -4 )
(x2 -4 )(2x 4 -2 )
x2 -4 = 0 2x4-2 = 0
x 2 = 4 2x4 = 2
x = 2 v x = -2 x4 = 1
x= 1 v x= -1

Rozwiązaniem są cyfry { 2, -2, 1, -1 }

(16-x2 ) (8x 3 +1)(x2 +2x +6) = 0
16-x2=0 v 8x 3 +1 = 0v x2 +2x+6= 0
x = 4 x3 = – ∆= 4-4 6 <0
x= -4 x = –
Rozwiązaniem równania są cyfry { -4, 4, – }

( x2 + x )4 – 1 = 0
[ (x2 + x )2 -1 ] [ (x2 +x )2+1] = 0
( x2 + x ) 2 -1 = 0
( x 2 +1 )2 = 1
x2 + 1 = 1 v x2 +1 = -1
x2 + x -1 = 0 x= x=
∆ = 5
x2 +x = -1
x2 + x +1 = 0
∆= -3
Brak
rozwiązania

4x 3 – 3 x – 1 = 0
3x 2 + x -3x -1 = 0
3x ( x-1) -3 (x -1 )
(3x -3) (x +1 ) = 0
3x-3 = 0 x+1 = 0
3x = 3 x = -1
x = 1

Rozwiązaniem równania są
{ 1,-1}

x5 +4x 3 – x 2 -4 = 0
(x5 +4x 3 ) + ( -x2 -4 ) = 0
x3 (x 2 + 4 ) – (x 2 + 4 ) = 0
( x2 +4 ) ( x 3 -1 ) = 0
x 3= 1
x= 1

3x 5 -2x 4 +3x -2 = 0
(3 x 5 -2 x 4 ) + ( 3x -2)= 0
x4 ( 3x -2) + 1(3x -2) = 0
(3x -2)(x4 +1 )= 0
3x -2 = 0 x4 = -1
x=

Rozwiązaniem równania jest
{ }

(2x -1)( x2 -1) = 6(x+1)
2x3 -2x -x2 +1 = 6x +6
2x 3 – x2 -8x -5 = 0
W(-1) = -2-1+8-5 = 0

| 2 | -1 | -8 | -5 |
-1 | | -2 | 3 | 5 |
| 2 | -3 | -5 | = |

(x +1 ) ( 2x 2 -3x -5 ) = 0
x = -1 ∆= 9-4 2 (-5) = 49
√49 = 7
x =
x= = -1

Rozwiązaniem równania są
{ -1, – }

3x 2 + 9x = 2x 3 +10
-2x3 +3x 2 +9x -10 = 0
W(-1) = 2 +3-9-10 jest różne od 0
W(1)= -2 +3+9-10= 0

| -2 | 3 | 9 | -10 |
1 | | -2 | 1 | 10 |
| -2| 1 | 10 | = |

(x-1)(-2x 2 + x + 10)
x= 1 ∆= 81, √81= 9
x = = 2,5
x = = -2
Rozwiązaniem równania
są { 1, -2, 2,5}

( x 2 + x )4 -1 = 0
( x2 + x )4 = 1
x2 + x = 1 v x 2 + x = -1
x2 + x -1 = 0 x 2 + x +1 = 0
∆= 5 ∆<0
x =
x =

Rozwiązaniem równania
są { x = , x= }

8x 6 -7x 3 -1 = 0
x3 = t
8t -7t -1 = 0
∆= 49-4 8 (-1) = 81
√81= 9

x= =
x = = 1

x3 = 1 x 3 =
x = 1 x = –

Rozwiązaniem równania są
{ 1, – }

2x4 – 13 x 2 +6 = 0
x2 = t
2t -13t +6 = 0
∆= 169 – 4 2 6 = 169-48 = 121
√∆= 11
t =
t = = 6

x 2 = 6
x = √ 6 v x = -√6

x 2 =
x = v x = –

x 4 +5x 3 +4x 2 -24x -24 = 0
W(-1)= 1-5+4+24-24 = 0

| 1 | 5 | 4 | -24| -24
-1| | -1| -4 | 0 | 24
| 1 | 4 | 0 | -24| =

(x+1)( x3 +4x 2 -24) = 0
x = -1
g(2)= 8+16-24= 0 –> 2 jest pierwiastkiem

| 1 | 4 | 0 | -24
2| | 2 | 12 | 24
| 1 | 6 | 12 | =

( x+1) ( x-2)(x2 +6x +12)= 0
x= -1 x= 2 brak rozwiązania
∆= 36-4 (-12) <0 3x 3 +5x 2 -12x -20 = 0
(3x 3 +5x 2 ) + (-12x -20) = 0
x2 ( 3x +5 ) -4 (3x +5) = 0
(3x +5) ( x 2 -4 ) = 0
3x+5= 0 x2 = 4
3x = -5 x= 2 v x = -2
x =

5x 3 +21x 2 -21x -5 = 0
(5x 3 – 5 ) + ( 21x 2 -21x ) = 0
5( x3 -1) +21 ( x -1)= 0
5(x-1) ( x 2 + x + 1) +21 (x-1) = 0
(x-1)(5x 2 +5x +5 +21x) = 0
(x-1) (5x 2 +26x +5)= 0
x= 1. ∆= 676-100= 576 , √576 = 24

x = =
x= = -5