Równania wymierne

Wyrażenie wymierne to wyrażenie zapisane w postaci iloczynu dwóch wielomianów . Dziedzina wyrażenia wymiernego nazywamy zbiór .
Równaniem wymiernym z niewiadomą nazywamy równanie postaci gdzie , to wielomiany oraz nie jest wielomianem tożsamościowo równym .

Schemat rozwiązywania równania wymiernego:
Krok 1: Wyznaczenie dziedziny wyrażenia wymiernego
Krok 2: Sprowadzenie równania wymiernego do równania wielomianowego i rozwiązanie równania
Krok 3: Sprawdzenie czy rozwiązania równania wielomianowego znajduję się w dziedzinie wyrażenie wymiernego i sformułowanie odpowiedzi.

Równania postaci:


Przykłady 1:
a)

Krok 1:



Krok 2:
Przy założeniu, że x nie jest jedynką możemy przemnożyć obustronnie równanie przez wyrażenie .

otrzymując równanie

które prowadzi do sprzeczności

Krok 3:
Formułujemy odpowiedz:
Odp.: Podane równanie nie posiada rozwiązań .
b)

Krok 1:



Krok 2:
Przy założeniu, że x nie jest piątką możemy przemnożyć obustronnie równanie przez wyrażenie :



wykorzystując wzór skróconego mnożenia zapisujemy powyższe równanie w postaci

przyrównując każdy z czynników do zera otrzymujemy
lub

Krok 3:
Sprawdzamy czy liczby nalezą do dziedziny otrzymanej w kroku pierwszym

oraz

i formułujemy odpowiedz.
Odp.: Podane równanie posiada dwa rozwiązania.

c)

Krok 1:







Krok 2:


wyłączając wspólny czynnik przed nawias

oraz przyrównując czynniki do zera otrzymujemy
lub

Krok 3:

oraz

Odpowiedź: Podane równanie posiada jedno rozwiązanie

Równania postaci: i metoda na krzyż
Przykład 2
a) Równanie wymierne prowadzące do równania liniowego:

Krok 1:


Czyli:

Krok 2:





Krok 3:

Odp.: Podane równanie posiada jedno rozwiązanie
UWAGA Podane rodzaj równania możemy rozwiązywać wykorzystując zaprezentowaną poniżej metodę

W kroku drugim: Zapiszmy lewą i prawej strony równania w postaci ułamkowej:

pozwoli nam to na skorzystanie z metody na krzyż (metoda na krzyż ). Dzięki czemu otrzymujemy:





Krok 3: Sprawdzenie czy uzyskane rozwiązanie znajduję się w dziedzinie wyrażenie wymiernego i zapisanie odpowiedzi:

Odpowiedź: Liczba jest rozwiązaniem podanego równania wymiernego.

Uwaga: Po rozwiązaniu równania możemy sprawdzić otrzymany wynik

Aby sprawdzić czy poprawnie rozwiązałeś równanie możemy dokonać sprawdzenie.
Sprawdzenie polega na wstawienie uzyskanej wartości do zadanego równania wymiernego. Dla powyższego przykładu sprawdzenia zostało zapisane poniżej:

Równania postaci

b)Równanie wymierne prowadzące do równania kwadratowego w postaci niezupełnej:

Krok 1:
i

Czyli
Krok 2:





lub

Krok 3:

oraz

Odpowiedź: Liczby , są rozwiązaniami podanego równania wymiernego.
c)Równanie wymierne prowadzące do równania kwadratowego dla którego =:

Krok 1:



Krok 2:







Krok 3:

Odpowiedź: Równanie nie posiada rozwiązań
d) Równanie wymierne prowadzące do równania kwadratowego dla którego > :

Krok 1: Wyznaczenie dziedziny:


Czyli:
Krok 2: Zapisanie lewej i prawej strony równania w postaci ułamkowej:

Krok 3: Sprawdzenie czy uzyskane rozwiązanie znajduję się w dziedzinie wyrażenie wymiernego i zapisanie odpowiedzi:

oraz

Odpowiedź: Liczby są rozwiązaniami podanego równania wymiernego.

e)Równanie wymierne prowadzące do równania kwadratowego dla którego < :

Krok 1:
i



Krok 2:

Krok 3:
Odp.: Podane równanie nie posada rozwiązania