Równania z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna to odległość danej liczby od 0 na osi liczbowej. Wartość bezwzględną z liczby x oznaczamy |x|.

Dla liczb dodatnich wartość bezwzględna to ta sama liczba, natomiast dla liczb ujemnych jest to liczba przeciwna.
|x| = x, jeżeli x>=0
|x| = -x, jeżeli x<0

Można więc powiedzieć, że wartość bezwzględna to zapisanie liczby z pominięciem znaku, np.
|-2| = 2
|5| = 5

Wartość bezwzględna ma pewne własności:

Wartość bezwzględna nie może być mniejsza od 0!
|x| 0, zapis np. |x| = -1 jest sprzeczny!

Wartość bezwzględna z liczb przeciwnych jest równa!
|x| = |-x|, np. |-3| = |3|

Odejmowanie dwóch składników pod wartością bezwzględną jest przemienne!
|x-y| = |y-x|, np. |2-3| = |3-2|. Oblicza się tak odległość między dwoma liczbami na osi liczbowej.

Mnożenie i dzielenie pod wartością bezwzględną jest rozdzielne!
|xy| = |x||y|, (y≠0), np. |-45| = |-4||5|

Uwaga! Wartości bezwzględnej nie można mnożyć tak, jakby był to nawias, np. 3|x-1| = 3x-3 itd. JEST TO BŁĄD!

Jak zatem rozwiązać równanie z wartością bezwzględną? Jeżeli jako w oznaczymy dowolne wyrażenie, a jako x dowolną dodatnią liczbę rzeczywistą, to prawdziwe jest twierdzenie:
|w| = x w = x w = -x

Uwaga! Twierdzenie jest prawdziwe tylko jeśli x jest dodatnią liczbą rzeczywistą, czyli nie możemy zastosować go jeżeli x to 0 lub dowolna liczba ujemna, ani też gdy x jest wyrażeniem.

Spróbujmy zastosować twierdzenie na przykładzie:
12 – 2|x-4| = |4-x| – 6
W pierwszej kolejności musimy doprowadzić równanie do postaci, w której po jednej stronie znajdzie się jedynie wyrażenie pod wartością bezwzględną, a po drugiej – liczba rzeczywista.
Przenosimy wartości bezwzględne na lewą stronę, a liczby na prawą:
-2|x-4| – |4-x| = -6 – 12
Zauważ, że |x-4| i |4-x| to wyrażenia równoważne (|x-y|=|y-x|), dlatego możemy działać na nich na zasadzie -2w – w.
Upraszczamy obie strony równania:
-3|x-4| = -18
Wciąż nie możemy zastosować twierdzenia ponieważ przed wartością bezwzględną stoi liczba -3.
Dzielimy obie strony równania przez -3:
-3|x-4| = -18 |:(-3)
|x-4| = 6
Na równaniu w tej postaci możemy już zastosować twierdzenie.
Stosujemy twierdzenie:
|x-4| = 6 x-4 = 6 x-4 = -6
Dalej działamy już tak, jak na zwykłych równaniach.
Obliczamy:
x = 6+4 x = -6+4
x = 10 x = -2
Rozwiązanie takiego równania zapisujemy jako zbiór liczb:
x {-2, 10}

Jeżeli w równaniu występuje wartość bezwzględna pod wartością bezwzględną, twierdzenie należy zastosować 2 lub więcej razy.
Przykład:
||x-3| – 1| = 5
Stosujemy twierdzenie po raz pierwszy:
||x-3| – 1| = 5 |x-3| – 1 = 5 |x-3| – 1 = -5
Upraszczamy oba równania:
|x-3| = 6 |x-3| = -4
Drugie równanie jest sprzeczne. Kontynuujemy jedynie z pierwszym równaniem.
Stosujemy twierdzenie po raz drugi:
|x-3| = 6 x-3 = 6 x-3 = -6
Obliczamy:
x = 9 x = -3
Zapisujemy rozwiązanie jako zbiór liczb:
x {-3, 9}