Równanie kwadratowe z parametrem

Zadania z parametrem często pojawiają się na maturze rozszerzonej z matematyki. Polegają głównie na określeniu wartości parametru, dla którego równanie spełnia określone warunki. Poniżej prezentuję najbardziej powszechne typy zadań:

Przykład 1:
Dla jakich wartości parametru p równanie x2 + (2p+1)x -2p+2 = 0 ma dokładanie dwa rozwiązania o różnych znakach?
Krok 1:
Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania jeśli > 0:
= (2p+1)2 – 4 (-2p+2) = 4p2+4p+1+8p-8 = 4p2+12p-7 > 0

Krok 2:
Rozwiązujemy nierówność kwadratową 4p2+12p-7 > 0:
2 = 144 + 16 7 = 256
p1 = = –
p2 = =
Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy p (- ; -3,5) u (0,5 ; +)

Krok 3:
Jeśli iloczyn dwóch liczb jest ujemny, to znaczy, że dokładnie jeden czynnik jest ujemny.
Iloczyn dwóch liczb wyznaczamy ze wzorów Viete’a.
x1 x2 = = = -2p+2
-2p+2 < 0
2p >2
p > 1

Krok 4:
Obydwa warunki są spełnione kiedy p (1 ; +).

Przykład 2:
Dla jakiej wartości parametru k, dziedziną funkcji f(x) = jest zbiór liczb rzeczywistych?
Krok 1:
Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, więc:
x2 + (k+2)x + 2k+1 0

Krok 2:
Aby zbiorem rozwiązań powyższej nierówności był zbiór liczb rzeczywistych, to musi ona posiadać maksymalnie jeden pierwiastek, czyli 0. Wtedy cały wykres znajdować się będzie nad osią OX, lub będzie ją przecinał jedynie w jednym punkcie (nic nie będzie poniżej).
= (k+2)2 – 4 (2k+1) = k2+4k+4 -8k-4 = k2-4k
k2-4k 0

Krok 3:
Rozwiązujemy nierówność: k(k-4) 0
Dziedziną funkcji f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych, gdy k <0,4>