Równanie prostej równoległej, równanie prostej prostopadłej

Wiesz już pewnie, jak wyglądają proste równoległe, a jak proste prostopadłe.
Proste równoległe nie mają żadnych punktów wspólnych:

Proste prostopadłe przecinają się pod kątem prostym:

Zadanie 1:
W jednym układzie współrzędnych narysuj proste o równaniach:
a) , ,
b) , ,
Co możesz powiedzieć o każdej trójce prostych?
Rozwiązanie:
a) Proste są równoległe

b) Proste są równoległe

W obydwu przypadkach okazało się, że wszystkie trzy proste są wzajemnie równoległe. Czy widzisz, co łączy ich równania?
Być może zauważyłeś, że wzajemnie równoległe proste mają te same współczynniki kierunkowe.

FAKT: Dwie proste o równaniach kierunkowych oraz są równoległe, gdy

Wiedząc o poniższym fakcie, wykonaj poniższe zadania:

Zadanie 2:
Podkreśl równania prostych, które są równoległe do prostej :
; ; ; ; ; ; ;
Odpowiedź (proste, które powinny zostać podkreślone):
, , ,

Zadanie 3:
Dla jakich wartości parametru pary prostych są równoległe?
a) i
b) i
c) i
d) i
Rozwiązanie:
a) współczynnik kierunkowy pierwszej prostej to , a drugiej . Przyrównujemy je do siebie (bo wiemy, że proste będą równoległe tylko wtedy, gdy ) i otrzymujemy
b) , ; z równania otrzymujemy
c) , ; z równania otrzymujemy
d) Zauważ, że pierwsza prosta nie jest postaci . Przekształcamy ją do postaci i widzimy, że , natomiast ; z równania otrzymujemy

O prostych równoległych wiemy już właściwie wszystko.

Zadanie 4:
W narysuj pary prostych w układach współrzędnych:
a) i
b) i
c) i
Co możesz powiedzieć o tych parach prostych?
Rozwiązania:
a) Proste są prostopadłe

b) proste są prostopadłe

c) Proste są prostopadłe

Prostopadłość prostych też zależy (wyłącznie) od wartości współczynnika kierunkowego. Być może zauważyłeś, że w każdym powyższym przypadku iloczyn współczynników kierunkowych był równy

FAKT: Dwie proste o równaniach kierunkowych oraz są prostopadłe, gdy

Skorzystajmy z odkrytego faktu, aby rozwiązać poniższe zadania:

Zadanie 5:
Wśród podanych prostych znajdź pary prostych prostopadłych (uwaga: nie wszystkie proste mają parę!):
; ; ; ; ; ; ; ;
Odpowiedź (jednym kolorem zaznaczono pary prostych prostopadłych):
; ; ; ; ; ; ;

Zadanie 6:
Dla jakich wartości parametru poniższe proste są prostopadłe?
a) i
b) i
c) i
d) i
Rozwiązanie:
a) Wypisujemy ze wzorów wartości współczynników kierunkowych: ,
Podstawiamy do wzoru : skąd otrzymujemy
b) , ; Z otrzymujemy
c) , ; Z otrzymujemy
d) , ; Z otrzymujemy