Równanie sprzeczne

RÓWNANIE SPRZECZNE
Czym jest równanie sprzeczne?
Równanie sprzeczne to takie równanie, które nie ma rozwiązania. To znaczy, że nie ma liczby, która by je spełniała. W równaniu sprzecznym lewa i prawa NIE są sobie równe.

TWIERDZENIE 1. W równaniu sprzecznym lewa i prawa strona nie są sobie równe.

Jak rozwiązuje się równania sprzeczne?
Równania sprzeczne rozwiązuje się tak, jak równania oznaczone (takie, które mają dokładnie jedno rozwiązanie), z tą różnicą, że na samym końcu (po tym, jak zobaczymy sprzeczność) piszemy „równanie sprzeczne” i/lub „ ∅” (x należy do zbioru pustego). W taki sposób kończymy rozwiązywanie przykładu i tym samym dowodzimy, że równanie nie ma rozwiązania.
Zwykle to, że równanie jest sprzeczne zauważamy dopiero w końcowych etapach rozwiązywania go. Czasem jednak od razu widać, że zachodzi sprzeczność:
a) – równanie sprzeczne

TWIERDZENIE 2. Dowolna liczba rzeczywista NIE może być równa tej samej liczbie powiększonej lub pomniejszonej o 'daną liczbę’ (przy założeniu, że ta 'dana liczba’ NIE jest zerem).

Dowód:




W równaniu zaszła sprzeczność, ponieważ 0 NIE jest równe 7.

Dla ułatwienia, podstawmy pod dowolną liczbę rzeczywistą, np. .


W równaniu zaszła sprzeczność, ponieważ 9 NIE jest równe 16.
Jeżeli jednak 'dana liczba’ byłaby zerem, równanie nie będzie sprzeczne, lecz tożsamościowe (ma nieskończenie wiele rozwiązań).

Częste błędy:

Równanie to jest sprzeczne
– ŹLE!!! Równanie to jest oznaczone.
Niewiadome należy przenieść na jedną stronę. W tym celu obustronnie odejmujemy x.


Aby pozbyć się liczby stojącej przed niewiadomą (2), obustronnie przez nią dzielimy:

b) – równanie sprzeczne

TWIERDZENIE 3. NIE istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu lub innej parzystej potęgi dałaby liczbę ujemną.

Częste błędy:

– ŹLE!!! Ponieważ , a nie

Uwaga! Wykonując działanie:
=_ x – dowolna liczba rzeczywista różna od 0
należy pamiętać, że do kwadratu podnosimy jedynie x (nie minus!), dlatego też wynik działania zawsze będzie ujemny, np. dla x=-3:

Przykład 1. Rozwiąż równanie.

Krok 1. Przenosimy niewiadome x na jedną stronę, a liczby rzeczywiste na drugą. Uwaga! Należy pamiętać o tym, że przy zmianie stron, znak przed liczbą zmieniamy na przeciwny.

Krok 2. Wykonujemy działania po obydwu stronach równania.

Krok 3. Pozbywamy się liczby stojącej przed niewiadomą. Jako, że jest to 0, możemy pomnożyć je przez niewiadomą, co zredukuje lewą stronę do samego 0.


W równaniu zaszła sprzeczność, ponieważ [z twierdzenia 1.] 0 NIE jest równe -18.

Krok 4. Pod równaniem lub obok, piszemy „równanie sprzeczne” i/lub ∅.

Przykład 2. Rozwiąż równanie.

Krok 1. Przenosimy niewiadome x na jedną stronę, a liczby rzeczywiste na drugą. Uwaga! Należy pamiętać o tym, że przy zmianie stron, znak przed liczbą zmieniamy na przeciwny.

Krok 2. Wykonujemy działania po obydwu stronach.

Krok 3. Pozbywamy się formy ułamka – w tym celu mnożymy wszystkie elementy równania przez mianownik (4x).

Krok 4. Otrzymaną liczbę rzeczywistą przenosimy na drugą stronę.

Krok 5. Pozbywamy się liczby stojącej przed niewiadomą – w tym celu dzielimy obustronnie przez tę liczbę (24).


W równaniu zaszła sprzeczność, ponieważ [z twierdzenia 3.] nie ma liczby rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu dałaby liczbę ujemną.

Krok 6. Pod równaniem lub obok, piszemy „równanie sprzeczne” i/lub „ ∅”.

Przykład 3. Rozwiąż równanie.

Krok 1. Zauważamy, że po obydwu stronach stoją liczby 5. Możemy je więc całkowicie zredukować, ponieważ przenosząc jedną z nich na przeciwną stronę i przy tym zmieniając znak, uzyskamy 0, ponieważ 5-5=0

Krok 2. Pozbywamy się formy ułamka – w tym celu obustronnie mnożymy przez mianownik (4).


W równaniu zaszła sprzeczność, ponieważ [z twierdzenia 3.] dowolna liczba rzeczywista NIE może być równa tej samej liczbie powiększonej lub pomniejszonej o daną liczbę (przy założeniu, że ta dana liczba nie jest zerem).

Krok 3. Pod równaniem lub obok, piszemy „równanie sprzeczne” i/lub „ ∅”.