Równanie tożsamościowe

Przed omówieniem tematu równania tożsamościowego, muszę przypomnieć czym są równania. Równania liniowe są bardzo ważnym pojęciem w matematyce, ponieważ bardzo często je się wykorzystuje w różnych zadaniach. Równania jest to zapis dwóch wyrażeń algebraicznych, które się sobie równają, łączy je więc znak równości =. Istnieją również równania kwadratowe oraz równania wielomianowe. W każdym równaniu występują dwie strony: prawa oraz lewa. Znajomość równań liniowych oraz ich rozwiązywania jest bardzo przydatną umiejętnością w szkole średniej, ponieważ zadania z taką tematyką bardzo często występują w arkuszach maturalnych na poziomie podstawowym, a również na poziomie rozszerzonym z matematyki.

Przykładowe równania liniowe:
5x + 3 = 2x – 5
10x – 2x + 10 = 20 + x

Równania liniowe rozwiązujemy poprzez obliczenie wartości niewiadomej. Robimy to za pomocą przeniesienia wszystkich niewiadomych oraz współczynników przy nich na jedną stronę, natomiast liczb na drugą stronę. Następnie należy przekształcić tak, aby po jednej stronie pozostała tylko niewiadoma. Do rozwiązywania równań liniowych potrzebne są cztery podstawowe działania matematyczne, czyli dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie.

Wyróżniamy trzy typy równań liniowych, które dzielimy ze względu na liczbę rozwiązań:
równania oznaczone to równania, które posiadają dokładnie jedno rozwiązanie
równania nieoznaczone, inaczej tożsamościowe, to równania, które posiadają nieskończenie wiele rozwiązań
równania sprzeczne to równania, które nie posiadają żadnych rozwiązań

Zrozumienie samej teorii jest zazwyczaj trudne, dlatego pokażę powyższe informacje na przykładach.

Przykład 1
Dane jest równanie liniowe: , rozwiąż je.

Najpierw rozpoczniemy od przeniesienia wszystkich wyrazów z niewiadomymi na lewą stronę, a inne liczby przeniesiemy na prawą stronę.

Odejmujemy oraz dodajemy wszystkie liczby.

Bardzo szybko otrzymaliśmy rozwiązanie równania liniowego.
Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, czyli jest to równanie oznaczone.

Przykład 2
Dane jest równanie liniowe: . Rozwiąż równanie liniowe.

Przenosimy wszystkie niewiadome na lewą stronę, natomiast wszystkie inne liczby na prawą stronę.

Odejmujemy oraz dodajemy wszystkie liczby. W rezultacie otrzymujemy:

Co to tak właściwie oznacza?
Oznacza to, że możemy wstawić wszystkie liczby jako niewiadomą, a równanie zawsze będzie spełnione.
Sprawdźmy, czy faktycznie tak jest. Wybiorę jako niewiadomą x = 2.






Jest to równanie tożsamościowe, inaczej zwane równaniem nieoznaczonym.

Ćwiczenie dla czytelników
Wybierzcie dowolną liczbę i podstawcie ją do równania. Przeanalizujcie wynik.

Przykład 3
Dane jest równanie . Rozwiąż równanie liniowe.

Postępujemy dokładnie tak samo jak w dwóch powyższych przykładach. Przenosimy niewiadome na lewą stronę, inne liczby na prawą stronę.


Otrzymujemy sprzeczność. To równanie nie ma żadnego rozwiązania, dlatego nazywamy je równaniem sprzecznym.

Przykład 4
Dane jest równanie . Rozwiąż równanie liniowe. Rozpoznaj, czy jest sprzeczne, tożsamościowe czy może oznaczone. Uzasadnij swój wybór.

Najpierw musimy wymnożyć nawias przez 2.

Postępujemy dokładnie tak samo jak w poprzednich przykładach. Przenosimy wszystkie niewiadome na lewą stronę, inne liczby na prawą stronę.


Jest to równanie tożsamościowe, ponieważ możemy podstawić dowolne liczby, a zawsze będą one spełniały równość.

Przykład 5
Dane jest równanie . Rozwiąż równanie liniowe.





Można mieć złudne wrażenie przy linijce , że może to być równanie sprzeczne. Jednak zauważmy, że jeśli podstawimy 0, to równanie będzie spełnione, więc jest to równanie oznaczone z jednym rozwiązaniem.

Jak możemy zauważyć, rozwiązywanie równań liniowych jest łatwe, pod warunkiem, że opanowaliśmy podstawowe działania matematyczne oraz umiemy krok po kroku upraszczać równanie tak, aby na końcu otrzymać po jednej stronie niewiadomą, a po drugiej jej wartość.