Rozkład dwumianowy

ROZKŁAD DWUMIANOWY

Rozkład dwumianowy w Polsce również jest nazywany rozkładem Bernouliego.

Kiedy używamy rozkładu dwumianowego?

Ten rozkład idealnie nadaje się do sytuacji, których wynikiem może być albo sukces, albo porażka. Opcje są tylko dwie. Znacie grę „Orzeł czy reszka”? Wiecie o tym, że jest sposób, by poznać prawdopodobieństwo wylosowania 2 razy orła lub reszki przy np. 4 rzutach? W tym pomoże nam rozkład dwumianowy! Chcecie wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 3 razy 6 oczek w 10 rzutach kostką? W tym również pomoże rozkład dwumianowy! Może chcecie się dowiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 4 razy pika z talii kart? Również do tego służy rozkład dwumianowy!

Kiedy nie używamy rozkładu dwumianowego?

Taki rozkład NIE NADAJE się np. do sprawdzenia kto prawdopodobnie wygra w meczu koszykówki np. Usa z Polską. Również NIE MOŻEMY UŻYĆ rozkładu dwumianowego, kiedy nie mamy podanej liczby prób. Przykładem takiego zadania jest np. rzucamy do kosza, jakie jest prawdopodobieństwo 4 sukcesów? TO JEST NIEPOPRAWNE! Tak samo to działa, gdy nie mamy podanej liczby sukcesów.

Wzór :

Pokazałam już kiedy używamy rozkładu dwumianowego, a kiedy nie. Przyszedł czas na poznanie wzoru…

Definicja :

To jest prawdopodobieństwo opisujące osiągnięcie k sukcesów w n próbach, jeśli prawdopodobieństwo sukcesu w jednym eksperymencie to p.

Dokładne wytłumaczenie na podstawie przykładu. Zadanie 1:

Gdy rzucimy 10 razy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania orła 2 razy?

W tym przypadku jest 50% szans na wylosowanie orła jak i reszki. Czyli nasze prawdopodobieństwo na sukces wynosi 0,5. To jest nasze p. Teraz zajmijmy się n. Jest to nic innego jak ilość rzutów (prób) jakie wykonamy, czyli 10. Zostało nam określenie k, czyli nasz sukces. A chcemy go osiągnąć 2 razy.
Mamy już nasze dane:
p = 0,5
n = 10
k = 2

PODZIELĘ TEN WZÓR NA DWIE CZĘŚCI :
1.
TO JEST NIC INNEGO JAK SYMBOL NEWTONA, KTÓRY MA WZÓR, BY GO ROZWIĄZAĆ.
TAK WYGLĄDA TEN WZÓR :
Teraz wystarczy podłożyć dane pod nasz wzór.

PO SKRÓCENIU LICZB WYCHODZI 45.
—————————————————————————————-
2.
Podam dwa sposoby na obliczenie tego.
1.
O – to orzeł, który jest naszym sukcesem – prawdopodobieństwo wylosowania to 0,5
R – to reszka, która jest naszą porażką – prawdopodobieństwo wylosowania to 0,5
Wystarczy wypisać :
NA 10 RZUTÓW WYPADŁY 2 ORŁY I 8 RESZEK.
POD KAŻDĄ LITERKĄ WYPISZĘ PRAWDOPODOBIEŃSTWO
WYPADNIĘCIA DANEJ STRONY.
O O R R R R R R R R
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 = 0,52 0,58
2.
Można oczywiście zrobić to też podkładając dane pod wzór :

W obu przypadkach wyszły nam te same wyniki, więc każdy może zdecydować sam jakim sposobem chce wykonać tą część.
Ale to nie wszystko! Te dwie części musimy przez siebie pomnożyć.

Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania orła 2 razy wynosi 4%.

Pamiętaj:

W zadaniach z rozkładem dwumianowym najpierw szukamy danych w treści zadania, a potem podkładamy pod wzór.

Zadanie 2:

Rzucamy piłeczką do kubeczka 8 razy, jaka jest szansa, że uda nam się wrzucić piłeczkę do kubeczka 4 razy?

Ale jak się dowiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo trafienia do kubeczka? Musimy to założyć.
A więc przyjmijmy, że nasze p to 0,6.
p = 0,6
n = 8
k = 4
Teraz podłóżmy to pod wzór :

Odp. Jest 20% szans, że uda nam się wrzucić piłeczką 4 razy.

Jak dowiedzieć się jaka ilość sukcesów jest najbardziej prawdopodobna?

By dowiedzieć się jaka ilość sukcesów jest najbardziej prawdopodobna musimy wykonać 8 działań dla k od 0 (brak sukcesu) do 8 (ilość prób to największa ilość sukcesów), n i p pozostaje bez zmian :
OTO WYNIKI TYCH DZIAŁAŃ :

Kiedy wykonamy wszystkie działania,
sprawdzamy dla jakiej liczby sukcesów k wyszło największe
prawdopodobieństwo.

Rozkład dwumianowy na wykresie:

Z WYKRESU WYNIKA, ŻE NAJWIĘCEJ SZANS JEST NA TO, ŻE TRAFIMY PIŁECZKĄ 5 RAZY. NAJMNIEJ NATOMIAST, ŻE NIE TRAFIMY ANI RAZU.
——————————————————-

DOWIEDZ SIĘ WIĘCEJ! Czy ten rozkład jest asymetryczny, czy symetryczny?

By dowiedzieć się, czy to jest rozkład symetryczny lub asymetryczny, musimy obliczyć medianę, średnią arytmetyczną i modę.
Zacznijmy od obliczenia średniej arytmetycznej. Musimy zsumować wszystkie liczby i podzielić je przez ich ilość :

——-
Teraz obliczmy medianę. Musimy wypisać wszystkie te liczby w kolejności niemalejącej, a później wybrać liczbę środkową.

Przedstawię to na wykresie :

Dla rozkładu lewostronnego jest : Mo>Me>E[X]

Dla rozkładu prawostronnego jest : MoW tym przypadku nie ma mody, ponieważ żadne liczby się nie powtarzają!

Na tym wykresie najpierw jest mediana, potem średnia. To oznacza, że nasz rozkład jest rozkładem asymetrycznym, a dokładniej rozkładem lewostronnym.

WAŻNE:

Pamiętajcie, że zawsze trzeba sprawdzić czy w zadaniu są wszystkie potrzebne nam dane i czy są tylko dwa możliwe wyniki : porażka i sukces. Reszta zadań jest analogiczna i wystarczy podkładać dane pod wzór.