Rozkład wielomianu na czynniki

1. Każdy niezerowy wielomian można przedstawić jako iloczyn czynników, jest to możliwe dzięki procesowi odwrotnemu do mnożenia wielomianów czyli rozkładowi na czynniki.

2.Metody rozkładu wielomianu na czynniki:
->wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias:
np. x2-6x = x(x-6)
-> zastosowanie wzorów skróconego mnożenia:
np. x3-1 = (x-1)(x2+x+1)
-> grupowanie wyrazów:
np. x3-3x2+2x-6 = x2(x-3) + 2 (x-3) = (x-3)(x2+2)
-> doprowadzenie trójmianu kwadratowego do postaci iloczynowej:
np. 2x2-x-3 = 2(x+1)(x- )

Przykład 1:
Rozłóż wielomian w(x) = 6x3+12x2+6x na czynniki:
Krok 1:
Spróbuj określić, którą metodę możesz zastosować.
Wielomian w(x) dla obu składników posiada zmienną x pomnożoną razy 6 (6x3=x2 6x, a 6x 2x =12x2), dlatego pierwsze musimy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.
w(x) = 6x(x2+2x+1)
Krok 2:
Zauważ, że x2+2x+1 możemy rozłożyć za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy a2+2ab +b2=(a+b)2
w(x) = 6x(x+1)2 -> I to jest wielomian rozłożony na czynniki.

Przykład 2:
Rozłóż wielomian w(x) = x3-x2– x+1 na czynniki:
Krok 1:
Wyrazy w podanym wielomianie możemy pogrupować, tak, by móc w każdej z grup wyłączyć wspólny czynnik przed nawias i otrzymać te same wyrażenia w nawiasach w obu grupach.
W wielomianie w(x) robimy to tak:
w(x) = x2( x-1)-( x-1) -> Wówczas otrzymujemy takie samo wyrażenie x-1 w obu grupach.
Krok 2:
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:
w(x) = ( x-1)(x2-1)
Krok 3:
Teraz skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów a2-b2=(a-b)(a+b), aby rozłożyć wyrażenie x2-1:
w(x)=( x-1)(x-1)(x+1) – To jest wielomian rozłożony na czynniki możliwie najmniejsze.

Przykład 3:
Rozłóż wielomian w(x) + p(x) na czynniki, wiedząc, że w(x) = −2x3+5x2−3, a p(x) = 2x3+12x
Zaczynamy od obliczenia sumy wielomianów w(x) + p(x):
w(x) + p(x) = −2x3+5x2−3 + 2x3+12x = 5x2+12x−3
Suma wielomianów jest stopnia 2, czyli następnym krokiem będzie zapisanie trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej:
= 144-4 5 (-3) = 204
= 2
x1 = =
x2 = =

w(x)+p(x) = 5(x -( ))(x-( ))