Rozłóż wielomian w na czynniki

1.Rozkład wielomianu na czynniki to proces odwrotny do mnożenia wielomianów, polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu kilku wielomianów.
2.Metody rozkładu wielomianu na czynniki:
->wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias:
np. x2-3x = x(x-3)
-> zastosowanie wzorów skróconego mnożenia:
np. x2-2x+1 = (x-1)2
-> grupowanie wyrazów:
np. x3-3x2+2x-6 = x2(x-3) + 2 (x-3) = (x-3)(x2+2)
-> doprowadzenie trójmianu kwadratowego do postaci iloczynowej:
np. x2-5x+6 = (x-3)(x-2)

Przykład 1:
Rozłóż wielomian w(x) = x7-x5 na czynniki:
Krok 1:
Spójrz na wielomian i określ, którą metodę możesz zastosować.
Wielomian w(x) dla obu składników posiada zmienną x podniesioną do piątej potęgi (x7=x5 x2), dlatego zacznijmy od wyłączenia tego wspólnego czynnika przed nawias.
Krok 2:
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.
w(x) = x5(x2-1), bo x7=x5 x2, a x5 (-1) = -x5.
Krok 3:
Zauważ, że x2-1 możemy rozłożyć za pomocą wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów a2-b2=(a-b)(a+b).
w(x) = x5(x-1)(x+1) -> I to jest wielomian rozłożony na czynniki.

Przykład 2:
Rozłóż wielomian w(x) =8x +4x2+4x+2 na czynniki:
Krok 1:
Zauważ, że wyrazy w podanym wielomianie możemy pogrupować. Grupujemy je tak, by móc w każdej z grup wyłączyć wspólny czynnik przed nawias i otrzymać te same wyrażenia w nawiasach w obu grupach.
W naszym wielomianie możemy to zrobić tak:
w(x) = 4x2(2x+1)+2(2x+1) -> Wówczas otrzymujemy takie samo wyrażenie 2x+1 w obu grupach.
Krok 2:
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:
w(x) = 2(2x+1)(2x2+1) -> to jest ostateczna postać bo wyrażenia 2x2+1 jest mniejsza od 0, a to oznacza, że nie posiada postaci iloczynowej.

Najczęściej rozkład wielomianu na czynniki jest nam potrzebny przy rozwiązywaniu równań (szukaniu miejsc zerowych) i nierówności, wówczas staramy się doprowadzić go do jak najprostszej postaci.

Zadanie 1: CKE – maj 2010
Rozwiąż równanie x3-7x2-4x+28 = 0
Aby rozwiązać to równanie potrzebujemy doprowadzić je do jak najprostszej postaci – rozłożyć podany wielomian na czynniki.
Zacznijmy od pogrupowania wyrazów:
x2(x-7)-4(x-7) = 0
(x-7)(x2-4)=0
Zauważmy, że x2-4 możemy rozłożyć korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
(x-7)(x-2)(x+2)=0
Aby iloczyn 3 cyfr był równy 0, to jedna z nich musi być równa 0, więc rozwiązaniami tego równania są liczby 7, 2 i -2.

Zadanie 2:
Rozłóż wielomian na czynniki w(x) = 4x5-12x3+x2-3 .
Zaczynamy od pogrupowania wyrazów:
w(x) = 4x3(x2-3)+(x2-3)
w(x) = (4x3+1)(x2-3)
Teraz zastosujmy wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów:
a3+b3=(a + b)(a2 – ab + b2)
w(x) = (+1)(x2–x+1)(x2-3)= 0
Następnie stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
a2-b2=(a-b)(a+b)
w(x) = (+1)(x2–x+1)(x- )(x+ )

Zadanie 3:
Określ ile pierwiastków posiada funkcja w(x) = (x2-4)(x3-8)(x2-3x+2)
Zaczynamy od zapisania trójmiany kwadratowego w postaci iloczynowej.
x2-3x+2 = 9- 4 2 = 1
x1= 2, x2= 1 = > x2-3x+2 = (x-2)(x-1)
w(x) = (x2-4)(x3-8)(x-2)(x-1)
Następnie stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
a2-b2=(a-b)(a+b)
x2-4 = (x-2)(x+2)
w(x) = (x-2)(x+2)(x3-8)(x-2)(x-1)
Kolejnym krokiem będzie użycie wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów a3-b3=(a – b)(a2 + ab + b2):
x3-8 = (x-2)(x2+x+4)
w(x) = (x-2)(x+2)(x-2)(x2+x+4)(x-2)(x-1)
Teraz upraszczamy wzór wielomianu:
w(x) = (x-2)3(x+2)(x-1)(x2+x+4)
Z tego wynika, że funkcja posiada 3 pierwiastki: -2, 2 i 1, w tym 2, które jest pierwiastkiem trzykrotnym.