Różnica zbiorów

Różnica zbiorów, to zależność elementów jednego zbioru od drugiego. Określana jest ona znakiem . Różnica zbiorów AB , to wszystkie elementy, które są w zbiorze A , a nie występują w zbiorze B. Natomiast różnica zbiorów BA, to takie elementy, które znajdują się w zbiorze B i nie ma ich w zbiorze A. Doskonale odzwierciedli to poniższy rysunek:

AB

B/A

W powyższym przypadku, zbiory zachodzą na siebie. Oznacza to, że muszą mieć one część wspólną, czyli niektóre elementy w zbiorze A i B powtarzają się, np. do zbioru A należeć będzie 1, 2, 3, 4, natomiast w zbiorze B 4, 5, 6, 7. Różnicą zbioru AB będzie 1,2,3, zbioru BA 5,6,7.
Łatwiej jest natomiast, gdy każdy element z obu zbiorów jest inny. Wówczas utworzylibyśmy dwa niełączące się ze sobą zbiory.

W przypadku A/B zamalowalibyśmy cały zbiór A, a w przypadku BA cały zbiór B. Przykładem może być zbiór A, w skład którego wchodzić będą 1,2,3 oraz zbiór B, gdzie znajdą się 4,5,6.
Może zaistnieć jeszcze taka sytuacja: gdy chcemy wyliczyć różnicę zbioru, a wszystkie elementy ze zbioru A występują również w zbiorze B, mówimy wówczas o zbiorze pustym i tworzy się wówczas podzbiór. np. w zbiorze A znajdują się 1,2,3, a w zbiorze B 1,2,3,4,5,6.
Wtedy A zawiera się w B.
Przyjrzyjmy się pewnemu zadaniu, które podaje nie liczby w zbiorze, lecz liczbę elementów w tym zbiorze.
Wiemy, że A ma 6 elementów, B ma 5 elementów. oraz różnica, czyli AB ma 2 elementy. Naszym zadaniem jest uzgodnienie, ile elementów liczy różnica B/A.
Należy zwrócić uwagę, że nie mogą być to dwa osobne zbiory, jak na powyższym rysunku, gdyż wtedy otrzymalibyśmy różnicę AB sześcioelementową, np. zakładając, że wszystkie elementy A i B są inne, np. zbiór B zawierałby takie elementy jak: 1,2,3,4,5,6, a zbiór B 7,8,9,10,11. Wyraźnie więc widać, iż różnica AB byłaby 6 elementowa.
Aby się dowiedzieć więc ile elementów liczy różnica BA, musimy zbiory na siebie nałożyć, aby na siebie nachodziły, jak na pierwszym rysunku.
Wiemy, że AB ma 2 elementy, więc wstawmy 2 do naszego rysunku.

Wiemy również, że zbiór A ma 6 elementów, więc zostaną nam 4 elementy, które się pokrywają. Należy więc tam wpisać 4.
Następnie, gdy już wiemy, jaka jest część wspólna, możemy z łatwością obliczyć, ile wynosi BA. Będzie to 1 element, więc wpisujemy go w miejsce zbioru B.
A co wtedy, gdy mamy odejmowanie od siebie trzech zbiorów? (AB)C możemy zapisać inaczej jako A(BuC). Skąd to wiemy?
Niech zbiór A będzie zawierał 1,2,3 zbiór B 2,3,4, a C 3,4,5. Sprawdźmy najpierw różnicę (AB)C. Policzmy to, co w nawiasie, a więc AB będzie wynosiło 1, ponieważ 2 i 3 są w zbiorze B. Teraz patrzymy, jaka jest różnica między zbiorem (AB) i zbiorem C. Jest to 1, ponieważ tego elementu nie ma w zbiorze C.
Teraz przyjrzyjmy się zapisowi A(BuC). Najpierw wykonujemy BuC, która wynosi 2,3,4,5. Teraz od zbioru A, który zawierał 1,2,3 odejmujemy BuC. Wychodzi również 1, ponieważ 2 i 3 powtarzają się w zbiorze BuC.
Dochodzimy więc do wniosku, że A(BuC) i (AB)C są sobie równe. Jest to inny sposób zapisu. Jest też taka możliwość iż będzie to zbiór pusty.