Rozpoznawanie ciągu arytmetycznego i geometrycznego

Mam nadzieję, że potrafisz wskazać różnicę między ciągiem arytmetycznym, a geometrycznym.
Zapamiętajmy dwie najważniejsze myśli:

Każdy kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie różnicy do poprzedniego ()
Każdy kolejny wyraz ciągu geometrycznego powstaje przez pomnożenie poprzedniego razy iloraz ()

W takim razie proste wydaje się stwierdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

Zadanie 1:
Dla każdego z poniższych ciągów oceń, czy jest on arytmetyczny. Jeśli tak, podaj jego różnicę.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Odpowiedzi:
a) nie
b) tak,
c) nie
d) nie
e) tak,
f) tak,

To zadanie zapewne nie sprawiło ci dużego problemu. W powyższych przykładach łatwo było „na oko” ocenić, jak powstają kolejne wyrazy ciągów. Ale właściwie, co działo się w twojej głowie, gdy to sprawdzałeś?
Zapewne najpierw patrzyłeś na pierwsze dwa wyrazy ciągu i sprawdzałeś, jaka jest różnica miedzy nimi.
Jeśli między każdą parą sąsiadujących wyrazów różnica była taka sama, to znaczyło, że ciąg jest arytmetyczny.

Pogrubione zdanie, to właśnie nasza myśl przewodnia. Spójrzmy na następne zadanie:

Zadanie 2:
Udowodnij, że ciąg o wyrazie ogólnym jest arytmetyczny.
Rozwiązanie:
Sprawdźmy najpierw, jak wyglądają kolejne wyrazy tego ciągu:



…i tak dalej
„Na oko” widzimy, że prawdopodobnie jest to ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Ale jak to udowodnić?
Tutaj musimy skorzystać z naszej myśli przewodniej: jeśli między każdymi dwora wyrazami różnica jest taka sama, to ciąg jest arytmetyczny.
Z definicji ciągu arytmetycznego wiemy, że . Przekształćmy to do postaci . Wiemy, że musi być liczbą rzeczywistą. Sprawdźmy, że tak się dzieje dla ciągu zdefiniowanego w treści zadania:

To znaczy, że faktycznie . To wystarczy, żeby stwierdzić, że ciąg jest arytmetyczny i kończy dowód.

Zadanie 3:
Sprawdź, czy ciąg dany wyrazem ogólnym jest arytmetyczny
Rozwiązanie 1:
Rozwiążemy to zadanie w analogiczny sposób tzn. sprawdzimy, czy różnica między dwoma dowolnymi wyrazami będzie liczbą rzeczywistą.

Zastanówmy się, co tu się stało. Wyszło nam, że różnica jest równa – tylko, że to nie jest liczba rzeczywista. Wartość to numer wyrazu ciągu. Czyli dla pierwszego wyrazu ciągu (tzn. między pierwszym a drugim wyrazem) różnica jest równa . Natomiast między drugim a trzecim będzie równa . Jak widać, różnica się zmienia, czyli nie jest stała, czyli ciąg nie jest arytmetyczny.
Uproszczony, ale prawdziwy, fakt: Jeśli różnica zawiera zmienną (literę n), to ciąg nie jest arytmetyczny.
Rozwiązanie 2:
Innym poprawnym sposobem rozwiązania takiego zadania jest podanie kontrprzykładu. Jeżeli chcemy udowodnić, że ciąg nie jest arytmetyczny (tzn. różnica między parami sąsiadujących wyrazów nie jest zawsze taka sama), wystarczy, że podamy dwie pary sąsiadujących wyrazów, między którymi różnica nie jest jednakowa. Wystarczy więc napisać:



<--- różnica między pierwszym, a drugim wyrazem
<--- różnica między drugim a trzecim
więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Zadanie 4:
Sprawdź, które z poniższych ciągów są arytmetyczne. Dla arytmetycznych podaj ich różnicę.
a)
b)
c)
d)
Odpowiedzi:
a) jest arytmetyczny,
b) jest arytmetyczny,
c) nie jest arytmetyczny, bo
d) nie jest arytmetyczny, bo

Umiesz już sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny. Pozostało nam jeszcze nauczyć się sprawdzać, czy ciąg jest geometryczny.

Zadanie 5:
Dla każdego z poniższych ciągów oceń, czy jest on geometryczny. Jeśli tak, podaj jego iloraz.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Odpowiedzi:
a) tak,
b) nie
c) tak,
d) nie
e) tak,
f) tak,

Zapewne tym razem obliczałeś iloraz między pierwszymi dwoma wyrazami i sprawdzałeś, czy między każdą parą wyrazów jest taki sam. Pamiętając, że ciąg jest geometryczny wtedy, kiedy iloraz jego dwóch sąsiadujących wyrazów jest zawsze taka sama (stała), przejdźmy do następnych zadań.

Zadanie 6:
Sprawdź, czy ciąg o wyrazie ogólnym jest geometryczny.
Rozwiązanie:
Obliczmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu:



…i tak dalej
Po „obejrzeniu” pierwszych czterech wyrazów ciągu, możemy podejrzewać, że jest on geometryczny i, że jego iloraz wynosi 2. W tak sformułowanym zadaniu musimy to jeszcze udowodnić.
Z definicji ciągu geometrycznego wiemy, że , co przekształcimy do postaci . Teraz pozostaje stwierdzić, czy jest liczbą rzeczywistą: .
To znaczy, że iloraz faktycznie jest stale równy 2, co wystarczy do stwierdzenia, że ciąg jest geometryczny.

Zadanie 7:
Udowodnij, że ciąg dany wyrazem ogólnym nie jest geometryczny.
Rozwiązanie:
Jeżeli mamy udowodnić, że coś nie jest prawdą, najłatwiej zrobić to poprzez podanie kontrprzykładu. Będziemy postępować podobnie, jak w drugim sposobie rozwiązania zadania 3:



<--- iloraz pierwszego i drugiego wyrazu
<--- iloraz drugiego i trzeciego wyrazu
iloraz nie jest stały, więc ciąg nie jest geometryczny, co kończy dowód.

Zadanie 8:
Sprawdź, które z poniższych ciągów są geometryczne. Dla geometrycznych podaj ich iloraz.
a)
b)
c)
d)
Odpowiedzi:
a) jest geometryczny,
b) jest geometryczny,
c) nie jest geometryczny, bo
d) jest geometryczny,