Rozwiązać układ równań można na kilka sposobów. Można użyć metody algebraicznej, wyznacznikowej, graficznej jak i wielu innych metod można użyć. Ja dziś wyjaśnię, jak rozwiązywać układy równań graficznie. Generalnie rzecz biorąc zawsze postępuje się tak samo. Równania przekształcamy do takiej postaci, aby łatwo było nam je narysować w układzie współrzędnych. Rozwiązaniami równań są przecięcia dwóch narysowanych wykresów. Co ważne, zawsz należy podawać te punkty parami, a więc należy pamiętać zawsze o podawaniu dwóch współrzędnych punktów (x, y).
Czas przejść do zadań
Zadanie 1 Rozwiąż graficznie układ równań. Rozwiązanie: Tutaj mamy w obu równaniach funkcje liniowe, a więc będziemy dążyć do przedstawienia ich w postaci ogólnej, którą jest y=ax+b
x+2y=8 2x-y=1
2y=-x+8 -y=-2x+1
Następnie rysujemy układ współrzędnych. Kolejno zaznaczamy nasze funkcje i szukamy ich przecięcia. W tym przypadku mamy dwie funkcje liniowe. Aby je narysować, najlepiej zbudować sobie tabelkę, w której obliczymy współrzędne minimum dwóch punktów, należących do wykresu. Po znalezieniu tych punktów wystarczy je zaznaczyć na układzie współrzędnych, a następnie połączyć je linią przy użyciu linijki. Jeśli chodzi o wybór punktów do tabelki, to najlepiej wybierać łatwe liczby, które ułatwią nam obliczenia, a więc warto używać tutaj -1, 0, 1 itd.
x
0
1
y=2x-1
-1
1
x
0
8
4
0
Jak widzimy, przecięcie tutaj występuje. Odczytujemy współrzędne. x=2 y=3
Punkt (2, 3) jest rozwiązaniem tego układu równań.
Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą graficzną. -y=-4x-16 -y=-3x-11
y=2x+8 y=3x+11
Następnie rysujemy układ współrzędnych i rysujemy dwie funkcje. Te funkcje rysujemy tak jak powyżej, a więc najlepiej znów stworzyć sobie dwie tabelki i wyznaczyć minimum dwa punkty. Szukamy ich miejsca przecięcia.
Rozwiązaniem tego układu jest zatem x = -3 y = 2
zadanie 3
Rozwiąż układ równań
Tutaj mamy układ równań, w których nie potrzebujemy zmieniać postaci funkcji na postacie ogólne, gdyż pierwsze równanie jest równaniem kwadratowym przedstawionym w postaci ogólnej (
), a drugi element układu jest funkcją stałą, stale równą dwa. Przechodzimy do szkicowania wykresów. Pierwsza funkcja jest funkcją kwadratową. Aby ją naszkicować najlepiej również zastosować tabelkę. Tym razem powinniśmy wybierać punkty z dwoma znakami, a więc warto wybrać np. parę punktów -1 i 1 oraz -2 i 2. Innym sposobem będzie również znalezienie wektora przesunięcia wykresu funkcji . Można więc tutaj obliczyć ten wektor [p, q] ze wzoru oraz . Podczas wyboru tej opcji, rysujemy wektor przesunięcia z punktu (0, 0) do punktu (p, q). Następnie w tym punkcie będzie wierzchołek paraboli. Jeśli współczynnik a jest dodatni parabola ma skierowane ramiona do góry, a przeciwnym razie, ramiona są skierowane do dołu. W wierzchołku paraboli rysujemy naszą funkcję, u nas będzie to funkcja , która została przesunięta o wektor [p, q]. Druga funkcja jest funkcją stałą, stale równą dwa. W takim wypadku szukamy na osi y wartości 2. Bierzemy do ręki linijkę, i rysujemy prostą równoległą do osi X, przechodzącą przez oś Y w punkcie (0, 2). Jak widzisz, w tym układzie równań funkcje przecinają się w dwóch miejscach, a więc układ równań ma dwa rozwiązania. x = 0 x=2 y = 2 y=2 Rozwiązaniami tego układu równań jest punkt P(0,2) oraz punkt F(2,2)
zadanie 4
Rozwiąż układ równań graficznie oraz podaj liczbę rozwiązań.
Tutaj mamy niepoukładane współczynniki, dlatego zaczynamy od przedstawienia funkcji w postaciach ogólnych.
Przechodzimy do szkicowania wykresów.
Jak widzisz, wykresy nie przecinają się ze sobą. Oznacza to, że taki układ równań nie ma rozwiązań. Odp. Liczba rozwiązań równania wynosi 0.
Podsumowując, rozwiązując układy równań zawsze zaczynamy od przekształceń równań do postaci funkcji ogólnej. Następnie z łatwością rysujemy te wykresy w układzie współrzędnych i sprawdzamy, czy te wykresy przecinają się w jakiś punktach. Jeśli tak, to zaznaczamy te punkty, spisując ich współrzędne. Jeśli nie ma przecięć wykresów, zapisujemy, że układ równań nie ma rozwiązań.
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
