Rozwiąż równania

Dziś nauczysz się rozwiązywać równania liniowe i kwadratowe.

Zacznijmy od równań liniowych. W tych równaniach x występuje w pierwszej potędze. Oczywiście, każde równania możemy rozwiązać metodą algebraiczną (obliczanie matematyczne). Ponadto, niektóre równania możemy również rozwiązać metodą graficzną. My jednak zajmiemy się dziś rozwiązywaniem algebraicznym równań.

Jeśli chodzi o rozwiązywanie algebraiczne to zazwyczaj wyróżniamy dwie metody. W pierwszej obustronnie dodajemy, mnożymy, odejmujemy czy też dzielimy przez tę samą wartość obie strony równania. Tę operację wykonujemy po to, aby współczynniki nam się uprościły. Druga metoda, ta bardziej uniwersalna polega na tym, że wiadome przenosimy na prawą stronę równania, a na lewą stronę przenosimy wyrażenia z niewiadomymi (zazwyczaj są to x-y). Przejdźmy więc do zastosowania tej wiedzy w praktyce.

zadanie 1
Oblicz poniższe równanie:
3x – 5 = 2x – 7

I sposób rozwiązania zadania:

| – 2x obustronnie odejmujemy 2x.

Przechodzimy do upraszczania wyrażenia. Z prawej strony likwidujemy 2x. Tym samym po lewej stronie równania zostaje nam już sam x. Po prawej stronie równania zostaje nam -7.

| +5 obustronnie dodajemy wartość pięć, aby zlikwidować tę wartość z prawej strony równania.

upraszczamy równanie do końcowej postaci

II sposób rozwiązania zadania:

przenosimy 2x na lewą stronę, pamiętać o zmianie znaku. Tak samo postępujemy z -5, którą przenosimy ze zmienionym znakiem na prawą stronę równania

Jak widzisz, rozwiązaliśmy te same równanie dwoma sposobami. W obu przypadkach wyszedł nam ten sam wynik. Teraz należy decyzja do ciebie, którą metodę wolisz. Ja wolę metodę numer dwa, gdyż w wielu przypadkach jest ta metoda po prostu szybsza.

Podsumowując, najłatwiej jest się pomylić przy tych prostych uproszczeniach. Ponadto bardzo trzeba być skupionym podczas przenoszenia wyrażeń z jednej strony na drugą. Obowiązkowo należy pamiętać, że przenosząc wyrażenie na drugą stronę musisz pamiętać o zmianie znaku. To niestety jest najbardziej popełniany błąd wśród młodzieży.

zadanie 2
Rozwiąż równanie:

I sposób rozwiązania zadania:

| – 18x Na początku obustronnie odejmujemy 18x, aby po prawej stronie równania zlikwidować wyrażenia z niewiadomą.

Przechodzimy do upraszczania wyrazów podobnych

| -3 Teraz chcemy zlikwidować wiadome z lewej strony równania, a więc odejmujemy obustronnie wartość 3.

Kolejny już raz przechodzimy do upraszczania poszczególnych wyrażeń

| : -(11x) Teraz przyszedł czas na usunięcie współczynnika przy niewiadomej. Tego współczynnika pozbywamy się poprzez obustronne podzielenie przez wartość przy x.

Skracamy najpierw znaki, a później wartości przy x otrzymując 1x

Teraz skracamy ułamek niewłaściwy otrzymując tym samym końcowy wynik.

II sposób rozwiązania zadania:

przenosimy wiadome na prawą stronę i niewiadome na lewą stronę

Upraszczamy wyrazy podobne

Usuwamy współczynnik przy x dzieląc równanie obustronnie przez minus 11

Jak widzisz, druga metoda kolejny raz sprawiła, że szybciej udało nam się obliczyć rozwiązanie tego równania.

W związku z tym, że wiemy jak rozwiązywać podstawowe równania liniowe, możemy przejść do równań liniowych z parametrem. W zależności od parametru, równanie będzie przyjmować inną wartość. Spróbujmy rozwiązać poniższe zadanie.

Ćwiczenie 1
Oblicz dla jakiej wartości/jakiś wartości parametru a, poniższe równanie jest tożsamościowe.

Rozwiązanie takiego zadania zaczynamy od zadania sobie pytania, czym jest równanie tożsamościowe. Takie równanie daje nam końcowe wnioski, że lewa strona równania równa się prawej, zazwyczaj jest to: 0 = 0.

Następnie przekształćmy poniższe równanie w taki sposób, aby mieć jasny obraz zależności między parametrem a niewiadomą.
Przemnażamy nawiasy

Sortujemy, przerzucając wiadome na prawą stronę równania a niewiadome na lewą stronę równania.

Zauważamy, że możemy po lewej stronie równania wyciągnąć przed nawias x. Po prawej stronie równania możemy przed nawias wyciągnąć trójkę po to, aby w obu „powstałych nawiasach” występowało to samo.

Jak wiesz równanie tożsamościowe u nas będzie postaci: 0 = 0, a więc . W takim razie spójrzmy na lewą stronę. Kiedy wyzeruje się prawa strona? Jeśli cały współczynnik przy x się wyzeruje, a więc gdy

Spójrzmy teraz na prawą stronę. Kiedy wyzeruje się nam prawa strona. Trójka nigdy się nie wyzeruje, więc aby prawa strona się wyzerowała, „nawias po prawej stronie równania” musi się wyzerować. Z racji tego, że nawiasy po obu stronach równania są takie same otrzymujemy prosty wniosek, że aby równanie było tożsamościowe parametr a musi wynieść 2.

Aby zaszła tożsamość parametr musi wynieść: a=2