Rozwiązywanie nierówności

Rozwiązywanie nierówności bazuje na tej samej zasadzie, co rozwiązywanie równań. Tak samo używamy ich, aby obliczyć niewiadomą x. Występują tam mimo wszystko pewne różnice, które zaraz omówię.

1) Znaki nierówności.
X > czyli X większe od …
X < czyli X mniejsze od …
X czyli X większe bądź równe …
X czyli X mniejsze bądź równe …

Przykład:
x>3 – x jest większy od 3
x 3 – x jest mniejszy bądź równy 3

2) Przykładowe nierówności
I.
2x-3 > 5/+3
2x > 8 } Dodajemy stronami 3.
2x > 8/:2 } Dzielimy obie strony przez 2.
x> 4 } Nasz wynik
Przyglądając się tej nierówności
widzimy, że postępujemy dokładnie tak,
jak w przypadku zwykłego równania.
II.
-3x+6 12/-6
-3x 6/:(-3)
x -2
W tym przypadku pojawia się pewna bardzo ważna zmiana.
Kiedy rozwiązujemy nierówność i dzielimy obie strony przez liczbę ujemną
znak nierówności się zmienia na przeciwny. Jest to ważny element w
późniejszym etapie zapisywania wyniku.

3) Oznaczenia na osi.

Kolejnym etapem po rozwiązaniu nierówności jest zapisanie wyniku jako zbioru.
Przy tym pomoce jest oznaczenie wyniku na osi.
Przy wynikach gdzie x> lub x< stawiamy niezamalowane kropki.
Przy wynikach gdzie x lub x stawiamy zamalowane kropki.

Przy wyniku 3,5 widzimy niezamalowaną kropkę oraz niebieską linie pociągniętą w stronę plus nieskończoności.
Oznacza to, że wynik nierówności wyglądał następująco: x > 3,5

Przy wyniku -2 widzimy zamalowaną kropkę oraz niebieską linię pociągniętą do plus nieskończoności .
Oznacza to, że wynik nierówności wyglądał następująco : x -2

Przy wyniku -1 widzimy niezamalowaną kropkę oraz linię pociągniętą w stronę minus
nieskończoności. Oznacza to, że wynik nierówności wyglądał następująco : x < -1

Przy wyniku 5 widzimy zamalowaną kropkę oraz linię pociągniętą do minus
nieskończoności. Oznacza to, że wynik nierówności wyglądał następująco : x 5

4) Zapisywanie wyniku

4x+2>10
4x>8/:4
x>2
2 to nasz wynik. Nie jest to jednak koniec zadania, ponieważ wynik ten musimy odpowiednio zapisać w zbiorze.
W tym przypadku zapis ten wygląda tak: X (2, +nieskończoność) czytamy to : x należy do zbioru otwartego od 2 do plus nieskończoności.

5) Nawiasy
Jeśli wynik to x> lub x< stawiamy nawias otwarty.
Jeśli wynik to x lub x stawiamy nawias domknięty.

Uwaga! Przy minus i plus nieskończoności zawsze stawiamy nawias otwarty.

Przykład:
5x+3>18
5x>15/:5
x>3
x(3, +nieskończoności)

6) Koniunkcja dwóch nierówności

-6
-6 x+4<0
-10 x<-4 x (-nieskończoność, -4)
x (-10,+nieskończoność)
Przy takiej nierówności zapisujemy ją jako koniunkcje dwóch oraz rozwiązujemy. Wyniki zapisujemy w przedziałach. Potem obydwa zaznaczamy na jednej osi.
Wynikiem końcowym jest część wspólna obu przedziałów.
W tym przypadku wynikiem będzie pole pomiędzy -4, a -10 i zapisuje się to w ten sposób: X (-10,-4).

7) Nierówność tożsamościowa – Jest to nierówność, której wynikiem jest każda liczba należąca do dziedziny tej nierówności. Dziedzina jest zawsze podawana do danego zadania.
Przykład:
8<10
Nierówność sprzeczna – Wynik wychodzi taki, że nie spełnia go żadna liczba.
Przykład:
<0

8) Podsumowanie
Rozwiązujemy nierówność pamiętając o zmianie kierunku znaku podczas mnożenia oraz dzielenia stronami.
Wynik rysujemy na osi. ( Nie jest to konieczne, ale pomaga)
Wynik końcowy zapisujemy w przedziale pamiętając o odpowiednich nawiasach.