Opracowanie:
Rozwiązywanie równań

Rozwiązywanie równań

Zweryfikowane

Rozwiązywanie równań:
z jedną niewiadomą
równanie liniowe
równanie kwadratowe
z dwoma niewiadomymi
z parametrem

Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą.

Przykład 1. Równanie liniowe
/ – 3 (odejmujemy 3 stronami)
 / : 2 (dzielimy stronami przez 2)
Zatem nasz wynik to x = 4

Przykład 2. Równanie kwadratowe
Zauważmy, że iloczyn będzie się zerował jeśli, albo pierwszy nawias się zeruje, albo drugi. Zatem:
lub

Zatem nasz układ ma 2 rozwiązania

Przykład 3.

Mnożymy nawiasy.
/ : 2
lub

Przykład 4. Delta
Nasze równanie jest postaci , więc przejdziemy do policzenia delty. . Zatem:
 > 0
Delta wyszła większa od zero, a oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki. Obliczamy je ze wzorów:
oraz

Zatem nasze równanie ma dwa rozwiązania:

Uwaga! Jeżeli < 0 równanie nie ma rozwiązań!!
Jeżeli równanie ma jedno rozwiązanie i obliczamy je ze wzoru

Rozwiązywanie równań z dwoma niewiadomymi. Układy równań.
Przedstawię kilka metod rozwiązywania układów równań.


Metoda podstawiania

/

Z pierwszego lub drugiego równania wyprowadzamy zmienną x lub y. Musimy wybrać, która jest łatwiejsza do wyprowadzenia.
Np. z pierwszego równania wyznaczę x. W tym celu dodaję stronami + 3y

Teraz wyznaczony x podstawiam do drugiego równania.


 /-3

Wyliczamy y z drugiego równania.


 /:4

Podstawiamy wyliczony y do pierwszego równania.

Ostatecznie:

Metoda przeciwnych współczynników


 /

Mnożymy drugie równanie przez 2

I teraz dodajemy do siebie równania. Przy y mamy przeciwne współczynniki, dzięki temu szybko wyliczymy x. Otrzymamy:

 / : 5
Teraz wyznaczony x podstawiamy do któregokolwiek równania. Ja podstawię do pierwszego.


 /+2 / : (-2)

Zatem ostatecznie:

Metoda graficzna

/ – 4x
 / + 1

W pierwszym kroku musimy oba równania uporządkować, tak aby każde miało postać
Obserwuj uważnie kolejne przejścia

/ : (-2)
 / : (-2)

Teraz narysujemy wykresy obu funkcji. ,
Łatwo wyznaczyć i narysować funkcje za pomocą poniższej tabelki.
Wpisujemy kilka wartości x i z równania funkcji wyliczamy wartość y. Ponieważ są to proste funkcje liniowe wystarczą dwa punkty, przez które przeprowadzimy prostą.

x


0


1


y


–



teraz taka sama tabelka dla drugiej funkcji.

x


0


1


y


–


-1


Pozostało zaznaczyć punkty na płaszczyźnie i narysować proste przechodzące przez te punkty.

Punkt przecięcia się funkcji jest wynikiem układu równań. Pozostało tylko odczytać wyniki. A mianowicie.

Rozwiązywanie układów równań z parametrem

W zadaniach tego typu mamy znaleźć wartość parametru m, dla którego równanie będzie:
> oznaczone (ma jedno rozwiązanie)
> nieoznaczone (ma nieskończenie wiele rozwiązań)
> sprzeczne (nie ma rozwiązań)

Rozwiązujemy, równanie, którąś z metod, które przedstawiłam wcześniej. Ja wybieram metodę przeciwnych współczynników.

/ (-1)

Zauważmy, że już ma tym etapie możemy powiedzieć, że układ będzie sprzeczny dla m = -3. Dlaczego? Bo gdy podstawimy -3 za m otrzymamy równość 2 = 6. Co przecież jest nieprawdą.
Pokażę sposób w jaki można to wyliczyć.


Dodajemy stronami.

 / : (3 + m)

Podstawiam do pierwszego równania.

Wyliczam x

Zauważmy, że w mianowniku nie może być 0 (ponieważ NIE można dzielić przez 0!). Zatem (3 + m) nie może równać się zero, więc m nie jest równe -3.
Dlatego dla m = -3 nasz układ nie będzie miał rozwiązań i będzie sprzeczny.
Dla m różnego od -3 ( ) układ będzie nieoznaczony (a to oznacza nieskończenie wiele rozwiązań)

Zadanie 1. Dla jakiego parametru m układ będzie sprzeczny?
a) m = b) m = 0 c) m = -1 d) m = –

/ + 1
 / 4

Skorzystam z metody przeciwnych współczynników.

Dodajemy równania.

Zauważmy, że jeśli współczynnik przy x będzie równy 0 otrzymamy sprzeczność 9 = 0. Zatem dla , czyli dla .
Układ będzie sprzeczny dla .

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top