Opracowanie:
Rozwiązywanie równań
Rozwiązywanie równań
Rozwiązywanie równań:
z jedną niewiadomą
równanie liniowe
równanie kwadratowe
z dwoma niewiadomymi
z parametrem
Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą.
Przykład 1. Równanie liniowe
/ – 3 (odejmujemy 3 stronami)
/ : 2 (dzielimy stronami przez 2)
Zatem nasz wynik to x = 4
Przykład 2. Równanie kwadratowe
Zauważmy, że iloczyn będzie się zerował jeśli, albo pierwszy nawias się zeruje, albo drugi. Zatem:
lub
Zatem nasz układ ma 2 rozwiązania
Przykład 3.
Mnożymy nawiasy.
/ : 2
lub
Przykład 4. Delta
Nasze równanie jest postaci , więc przejdziemy do policzenia delty. . Zatem:
> 0
Delta wyszła większa od zero, a oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki. Obliczamy je ze wzorów:
oraz
Zatem nasze równanie ma dwa rozwiązania:
Uwaga! Jeżeli < 0 równanie nie ma rozwiązań!!
Jeżeli równanie ma jedno rozwiązanie i obliczamy je ze wzoru
Rozwiązywanie równań z dwoma niewiadomymi. Układy równań.
Przedstawię kilka metod rozwiązywania układów równań.
Metoda podstawiania
/
Z pierwszego lub drugiego równania wyprowadzamy zmienną x lub y. Musimy wybrać, która jest łatwiejsza do wyprowadzenia.
Np. z pierwszego równania wyznaczę x. W tym celu dodaję stronami + 3y
Teraz wyznaczony x podstawiam do drugiego równania.
/-3
Wyliczamy y z drugiego równania.
/:4
Podstawiamy wyliczony y do pierwszego równania.
Ostatecznie:
Metoda przeciwnych współczynników
/
Mnożymy drugie równanie przez 2
I teraz dodajemy do siebie równania. Przy y mamy przeciwne współczynniki, dzięki temu szybko wyliczymy x. Otrzymamy:
/ : 5
Teraz wyznaczony x podstawiamy do któregokolwiek równania. Ja podstawię do pierwszego.
/+2 / : (-2)
Zatem ostatecznie:
Metoda graficzna
/ – 4x
/ + 1
W pierwszym kroku musimy oba równania uporządkować, tak aby każde miało postać
Obserwuj uważnie kolejne przejścia
/ : (-2)
/ : (-2)
Teraz narysujemy wykresy obu funkcji. ,
Łatwo wyznaczyć i narysować funkcje za pomocą poniższej tabelki.
Wpisujemy kilka wartości x i z równania funkcji wyliczamy wartość y. Ponieważ są to proste funkcje liniowe wystarczą dwa punkty, przez które przeprowadzimy prostą.
x
0
1
y
–
teraz taka sama tabelka dla drugiej funkcji.
x
0
1
y
–
-1
Pozostało zaznaczyć punkty na płaszczyźnie i narysować proste przechodzące przez te punkty.
Punkt przecięcia się funkcji jest wynikiem układu równań. Pozostało tylko odczytać wyniki. A mianowicie.
Rozwiązywanie układów równań z parametrem
W zadaniach tego typu mamy znaleźć wartość parametru m, dla którego równanie będzie:
> oznaczone (ma jedno rozwiązanie)
> nieoznaczone (ma nieskończenie wiele rozwiązań)
> sprzeczne (nie ma rozwiązań)
Rozwiązujemy, równanie, którąś z metod, które przedstawiłam wcześniej. Ja wybieram metodę przeciwnych współczynników.
/ (-1)
Zauważmy, że już ma tym etapie możemy powiedzieć, że układ będzie sprzeczny dla m = -3. Dlaczego? Bo gdy podstawimy -3 za m otrzymamy równość 2 = 6. Co przecież jest nieprawdą.
Pokażę sposób w jaki można to wyliczyć.
Dodajemy stronami.
/ : (3 + m)
Podstawiam do pierwszego równania.
Wyliczam x
Zauważmy, że w mianowniku nie może być 0 (ponieważ NIE można dzielić przez 0!). Zatem (3 + m) nie może równać się zero, więc m nie jest równe -3.
Dlatego dla m = -3 nasz układ nie będzie miał rozwiązań i będzie sprzeczny.
Dla m różnego od -3 ( ) układ będzie nieoznaczony (a to oznacza nieskończenie wiele rozwiązań)
Zadanie 1. Dla jakiego parametru m układ będzie sprzeczny?
a) m = b) m = 0 c) m = -1 d) m = –
/ + 1
/ 4
Skorzystam z metody przeciwnych współczynników.
Dodajemy równania.
Zauważmy, że jeśli współczynnik przy x będzie równy 0 otrzymamy sprzeczność 9 = 0. Zatem dla , czyli dla .
Układ będzie sprzeczny dla .