Schemat Bernoulliego

Schemat Bernoulliego to uogólnienie procesu Bernoulliego, dlatego najpierw wytłumaczmy, kim był Bernoulli. Mianowicie nazywał się Daniel Bernoulli, urodził się 8 lutego 1700 w Holandii, a zmarł 17 marca 1782 w Szwajcarii. Z zawodu był szwajcarskim matematykiem i fizykiem.

Próba Bernoulliego to losowy eksperyment. Możliwe są dwa wyniki: albo sukces, albo porażka. Ta próba odwzorowuje system zero-jedynkowy.

Proces Bernoulliego to proces stochastyczny (inaczej losowy), który składa się z ciągu niezależnych zmiennych losowych X1, X2, X3, …, w których dla każdego : wartość Xi równa się a lub b oraz prawdopodobieństwo, że Xi = a jest stałe i równe . Xi to oznaczenie próby Bernoulliego, w której są dwa możliwe wyniki: sukces albo porażka. Ważne, że żadna próba nie jest zależna od każdej innej próby. W dzisiejszych czasach matematycy za przykłady próby Bernoulliego przedstawiają przede wszystkim pojedynczy rzut monetą, gdzie wynikiem jest orzełek albo reszka oraz narodziny dziecka – czy będzie to chłopiec czy dziewczynka, lecz próba Bernoulliego dotyczy dowolnego przykładu, na przykład jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej liczby oczek na klasycznej kostce do gry. Proces Bernoulliego związany jest z rozkładami prawdopodobieństwa:
1 . rozkład dwumianowy;
2 . ujemny rozkład dwumianowy;
3 . rozkład geometryczny.

Schemat Bernoulliego to proces losowy, który składa się ciągu niezależnych zmiennych losowych X1, X2, X3, …, tak by:
– dla każdego X przyjmuje dowolną wartość z n1, n2, …, nN;
– dla każdych oraz prawdopodobieństwo, że Xi = nj jest stałe oraz równe pj i

Poza tym ważną rzeczą, którą ułatwia nam schemat Bernoulliego jest to, że można łatwo i szybko obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania pewnej liczby sukcesów podczas danej liczby prób.
Liczbę sukcesów zazwyczaj oznacza się jako k, liczbę wykonanych prób jako n oraz prawdopodobieństwo sukcesu podczas jednej próby jako p.
Wzór na prawdopodobieństwo otrzymania sukcesu w danej liczbie prób brzmi: