Schemat hornera

Schemat Hornera – pozwala na wyznaczenie dzielenie wielomianu przez dwumian postaci a więc pozwala nam zapisać wielomian w postaci:

Otrzymywanie współczynników wielomianu oraz resztę przedstawia poniższa tabela:

Schematu Hornela (kroki postępowania):

Krok 1: Wypisujemy współczynniki wielomianu . Jeśli stopień wielomianu jest liczbą to jest współczynników do wypisania: .

Krok 2: Budujemy tabelę oraz obok tej tabeli rysujemy koło.

W tabeli w pierwszym wierszu umieszczamy współczynniki wielomianu

Krok 3: Umieszczamy liczbę czyli pierwiastek dwumianu w narysowanym kole.

Krok 4: Spisujemy współczynnik do drugiego wiersza i pierwszej kolumny naszej tabeli.

Oznaczamy numer kolumny tabeli literką Pozycje w tabeli możemy zapisać w postaci czyli:
dla

Krok 5: W wierszu drugim i drugiej kolumnie wpisujemy wynik działania: czyli :
dla

Krok 6: Uzupełniamy kolejne pozycje tabeli :
dla

Uwaga: krok 6 ma sens jeśli stopień wielomianu jest wyższy niż 2 w przypadku gdy jest on niższy kończymy przechodzimy do kroku 7

Krok 7: Zapisujemy wielomian

Krok 8: Zapisujemy resztę z dzielenia

Krok 9: Zapisujemy wielomian

Uwaga 1: W przypadku gdy zapisujemy w postaci iloraz:

Uwaga 2:

Przykłady:

Wykorzystując schematu Hornela podaj wartość ilorazu jeśli:

a) oraz
b) oraz

Rozwiązanie:
W podanym przykładzie należy wykonać siedem kroków z powyższego schematu, które zostały zaprezentowane poniżej
a) Krok 1: Wypisujemy współczynniki wielomianu :

Krok (2 i 3): Rysujemy tabelę. Współczynniki wpisujemy w pierwszy wiersz tabeli, wstawiając wartość w narysowane koło:

Krok (4 i 5 i 6): Wyznaczamy współczynniki w wierszu drugim

Jeśli zaczniemy wyznaczać współczynniki do drugiego wiersza tabeli powinniśmy wykonać następujące obliczenia:

oraz umieścić wyniki w tabeli :

Krok 7: Zapisujemy odpowiedź:

czyli:

Ad b)

Rozwiązanie:

Krok 1: Wypisujemy współczynniki wielomianu :

Krok (2 i 3): Rysujemy tabelę. Współczynniki wpisujemy w pierwszy wiersz tabeli, wstawiając wartość a w narysowane koło:

Krok (4 i 5 i 6): Wyznaczamy współczynniki w wierszu drugim tabeli:

Jeśli zaczniemy wyznaczać współczynniki do drugiego wiersza tabeli powinniśmy wykonać następujące obliczenia:

oraz umieścić wyniki w tabeli :

Krok 7: Zapisujemy odpowiedź:

czyli

Możemy sprawdzić uzyskany wynik wykonując dzielenie lub wymnażając odpowiednie wielomiany:

Przykład 2
Wyznacz wartość ilorazu:
a)
b)

Ad a)
Rozwiązanie:
Krok 1: Wypisujemy współczynniki wielomianu :

Krok (2 i 3): Rysujemy tabelę. Współczynniki wpisujemy w pierwszy wiersz
tabeli, wstawiając wartość a w narysowane koło:

W tym przykładzie

Krok (4 i 5 i 6): Wyznaczamy współczynniki w wierszu drugim tabeli:

Jeśli zaczniemy wyznaczać współczynniki do drugiego wiersza tabeli powinniśmy wykonać następujące obliczenia:

oraz umieścić wyniki w tabeli:

Krok 7: Zapisujemy:

Krok 8: Zapisujemy:

Krok 9: Zapisujemy:

Ad. b)
Rozwiązanie:
Krok 1: Wypisujemy współczynniki wielomianu :

Krok (2 i 3): Rysujemy tabelę. Współczynniki wpisujemy w pierwszy wiersz tabeli, wstawiając wartość a w narysowane koło:

Krok (4 i 5 i 6): Wyznaczamy współczynniki w wierszu drugim tabeli:

Jeśli zaczniemy wyznaczać współczynniki do drugiego wiersza tabeli powinniśmy wykonać następujące obliczenia:

oraz umieścić wyniki w tabeli

Krok 7: Zapisujemy:

Krok 8: Zapisujemy:

Krok 9: Zapisujemy:

Ćwiczenie: Uzupełnij tabelę stosując schemat Hornela:

a)

Odpowiedź: Dla powyższego przykładu w wolne pola należy wpisać:

b)

Odpowiedź:

Dla powyższego przykładu w wolne pola należy wpisać w puste pola kolejno podane liczby:

c)

Odpowiedź:
Dla powyższego przykładu w wolne pola należy wpisać w puste pola kolejno podane liczby:

d)

Odpowiedź:
Dla powyższego przykładu w wolne pola należy wpisać w puste pola kolejno podane liczby:

,

Ćwiczenie 2: Wykorzystując schemat Hornela sprawdź czy nie popełniono błędu podczas wyznaczania reszty przy dzielenia wielomianu przez dwumian
a)

Odpowiedź: Schemat Hornela pokaże że wykonano poprawnie wyznaczono resztę wykonując dzielenie wielomianu przez dwumian

Co musisz zrobić by odczytać odpowiedź?

Uzupełnij tabelę. Powinieneś otrzymać . Możesz odczytać jaki wielomian uzyskałeś

oraz jaką resztę:

Widzimy że jest to taka sama liczba jak liczba uzyskana w schemacie po lewej stronie na końcu. Więc nie popełniono błędu przy wyznaczaniu reszty.

b)

Odpowiedź: Schemat Hornela pokaże że poprawnie wyznaczono resztę wykonując dzielenie wielomianu przez dwumian
Jeśli uzupełnimy tabelę to i odczytamy wielomian oraz resztę to widzimy że jest to taka sama liczba jak liczba uzyskana w schemacie po lewej stronie.

Zadanie 1: Wypisz współczynniki wielomianu . Uzupełnij wiersz podanej tabeli
a)

b)

c)

Zadanie 2: Wyznacz wartość ilorazu korzystając ze schematu Hornela ( zadanie do wykonania samodzielnego )

Zadanie 3: Poniższych przykładach zastosowano schemat Hornela sprawdź jeśli dzielimy przez to właściwie wyznaczono współczynniki wielomianu p(x) oraz resztę z tego dzielenia ( zadanie do wykonania samodzielnego )

Zadanie 4: Wykorzystując schemat Hornela sprawdź czy nie popełniono błędu podczas wyznaczania reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian ( zadanie do wykonania samodzielnego )

Zadanie 5: Wykorzystując schemat Hornela sprawdź czy nie popełniono błędu podczas wyznaczania reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian ( zadanie do wykonania samodzielnego )