Sfera

Sfera

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się co to jest sfera oraz czym się charakteryzuje. Rozwiążesz także wiele zadań związanych ze sferą.

Sfera definicja:
W matematyce sfera definiowana jest jako zbiór wszystkich punktów w przestrzeni, których odległość od środka sfery (P) jest stała i równa promieniowi sfery (r). Innymi słowy sfera powstaje w wyniku obrotu okręgu wokół osi zawartej w jego średnicy, a zatem powierzchnia sfery traktowana jest jako pole powierzchni kuli.
(Przykład sfery został przedstawiony na rysunku obok).

Wzór na powierzchnię sfery:
Powierzchnia sfery jest tym samym co pole powierzchni kuli i wyraża się wzorem:
P = 4πr2
gdzie:
– „P” to powierzchnia sfery,
– „r” to promień sfery
– π to liczba niewymierna (π 3,14)
A zatem powierzchnia sfery to iloczyn liczby 4, liczby π oraz kwadratu promienia tej sfery. Czyli mając do dyspozycji tylko promień sfery będziemy mogli policzyć jej powierzchnię.
Przykładowo załóżmy, że mamy policzyć powierzchnię sfery o promieniu r = 1 cm. Korzystamy z poznanego wzoru: P = 4πr2 i podkładamy za „r” 1 cm. Obliczamy powierzchnię tej sfery: P = 4πr2 = 4 π (1 cm)2 = 4 π 1 cm2 = 4π cm2. A zatem pole powierzchni naszej sfery wynosi 4π cm2.
Przećwiczmy teraz obliczanie powierzchni sfery na poniższych przykładach.

Przykład 1:
Oblicz powierzchnię sfery jeśli jej promień wynosi:
a) 4 cm
b) 11 cm
c) 4,5 cm
d) 3 cm

a) Mamy podany promień sfery, który wynosi 4 cm (r = 4 cm). Aby obliczyć powierzchnię sfery korzystamy z poznanego wyżej wzoru (P = 4πr2) i podkładamy za „r” 4 cm:
P = 4πr2 = 4 π (4 cm)2 = 4 π 16 cm2 = 64π cm2
A zatem powierzchnia tej sfery jest równa 64π cm2.

(Taki wynik uznaje się za ostateczny, gdyż liczba pi jest liczbą niewymierną, czyli nie da się jej „ładnie” rozpisać. Możemy jednak podać przybliżoną wartość pi ( 3,14) i wtedy obliczyć przybliżoną wartość powierzchni sfery Robimy to jednak tylko wtedy, gdy jasno mówi nam o tym polecenie np. gdyby pisało jeszcze „przyjmij, że π 3,14″ to powierzchnia sfery wynosiłaby wtedy: P = 4 π (4 cm)2 4 3,14 16 cm2 = 3,14 64 cm2 = 200,96 cm2)

b) Podany mamy promień sfery, który wynosi 11 cm (r = 11 cm). Aby obliczyć powierzchnię sfery korzystamy z poznanego wyżej wzoru (P = 4πr2) i podkładamy za „r” 11 cm:
P = 4πr2 = 4 π (11 cm)2 = 4 π 121 cm2 = 484π cm2
A zatem powierzchnia tej sfery jest równa 484π cm2.

c) Mamy promień sfery, który wynosi 4,5 cm (r = 4,5 cm). Aby obliczyć powierzchnię sfery korzystamy z poznanego wzoru (P = 4πr2) i podkładamy za „r” 4,5 cm:
P = 4πr2 = 4 π (4,5 cm)2 = 4 π 20,25 cm2 = 81π cm2
A zatem powierzchnia tej sfery jest równa 81π cm2.

d) Promień naszej sfery wynosi 3 cm (r = 3 cm). Obliczamy powierzchnię tej sfery korzystając z poznanego wzoru (P = 4πr2):
P = 4πr2 = 4 π (3 cm)2 = 4 π 9 5 cm2 = 4 π 45 cm2 = 180π cm2
A zatem powierzchnia tej sfery jest równa 180π cm2.

Przykład 2:
Oblicz powierzchnię sfery jeśli jej średnica wynosi:
a) 10 cm
b) 17 cm
c) 6 cm

a) Mamy podaną średnicę sfery, która wynosi 10 cm (d = 10 cm). Aby obliczyć powierzchnię tej sfery musimy najpierw wiedzieć jaki ma promień. W sferze (tak samo jak w okręgu) średnica jest zawsze dwa razy dłuższa od promienia, czyli d = 2r. Za „d” podstawiamy 10 cm i rozwiązujemy proste równanie:
d = 2r
10 cm = 2r (dzielimy obustronnie przez 2)
5 cm = r (więc promień ma długość 5 cm)
Mając podany promień sfery możemy teraz bez problemu obliczyć jej powierzchnię (P = 4πr2):
P = 4πr2 = 4 π (5 cm)2 = 4 π 25 cm2 = 100π cm2.
A zatem powierzchnia tej sfery jest równa 100π cm2.

b) Mamy podaną średnicę sfery, która wynosi 17 cm (d = 17 cm). Aby obliczyć powierzchnię tej sfery musimy najpierw wiedzieć jaki ma promień. Korzystamy z tego, że w sferze średnica jest dwa razy dłuższa od promienia (d = 2r) i rozwiązujemy proste równanie:
d = 2r (za „d” podstawiamy 17 cm)
17 cm = 2r (dzielimy obustronnie przez 2)
8,5 cm = r (więc nasz promień ma długość 8,5 cm)
Mając podany promień sfery możemy teraz bez problemu obliczyć jej powierzchnię (P = 4πr2):
P = 4πr2 = 4 π (8,5 cm)2 = 4 π 72,25 cm2 = 289π cm2.
A zatem powierzchnia tej sfery jest równa 289π cm2.

c) Mamy podaną średnicę sfery, która wynosi 6 cm (d = 6 cm). Aby obliczyć powierzchnię tej sfery musimy najpierw wiedzieć jaki ma promień. Liczmy promień, wiedząc że w sferze średnica jest dwa razy dłuższa od promienia (d = 2r), czyli rozwiązujemy proste równanie:
d = 2r (za „d” podstawiamy 6 cm)
6 cm = 2r (dzielimy obustronnie przez 2)
3 cm = r (więc nasz promień ma długość 3 cm)
Mając podany promień sfery możemy teraz bez problemu obliczyć jej powierzchnię (P = 4πr2):
P = 4πr2 = 4 π (3 cm)2 = 4 π 9 3 cm2 = 4 π 27 cm2 = 108π cm2.
A zatem powierzchnia tej sfery jest równa 108π cm2.

Przykład 3:
Oblicz promień i średnicę sfery, jeśli jej powierzchnia wynosi:
a) 196π cm2
b) 625π cm2
c) 2420π cm2

a) Mamy podaną powierzchnię sfery, która wynosi 196π cm2. Znamy także wzór na powierzchnię sfery: P = 4πr2. Spróbujmy przekształcić ten wzór, tak aby można było z niego łatwo wyliczyć promień (przekształcamy go tak, aby „r” było po jednej stronie równania, a pozostałe wartości po drugiej):
P = 4πr2 (dzielimy obustronnie przez 4π)
= r2 (pierwiastkujemy obie strony równania)
= r (oczywiście r > 0, bo wyraża długość oraz P > 0 bo wyraża powierzchnię, a wartości te muszą być dodatnie)
A zatem r = , czyli promień sfery możemy obliczyć podkładając za „P” (w wyprowadzonym wzorze) wartość powierzchni sfery. Obliczamy promień sfery:
r = = = = = 7 cm.
Mając obliczony promień możemy teraz obliczyć średnicę (d = 2r), podkładając za „r” 7 cm:
d = 2r = 2 7 cm = 14 cm.
A zatem promień tej sfery wynosi 7 cm, a średnica 14 cm.

b) Mamy podaną powierzchnię sfery, która wynosi 625π cm2. Aby obliczyć promień tej sfery korzystamy ze wzoru wyprowadzonego w podpunkcie „a” (podkładając za „P” 625π cm2):
r = = = = = 12,5 cm.
Teraz, znając już promień sfery, możemy policzyć jej średnicę (d = 2r):
d = 2r = 2 12,5 cm = 25 cm.
A zatem promień tej sfery wynosi 12,5 cm, a średnica 25 cm.

c) Mamy podaną powierzchnię sfery, która wynosi 2420π cm2. Aby obliczyć promień tej sfery korzystamy ze wzoru wyprowadzonego w podpunkcie „a” (podkładając za „P” 2420π cm2):
r = = = = = 11 cm.
Teraz, znając już promień sfery, możemy policzyć jej średnicę (d = 2r):
d = 2r = 2 11 cm = 22 cm.
A zatem promień tej sfery wynosi 11 cm, a średnica 22 cm.

Przykład 4:
Długość równika naszej planety wynosi ok. 40 000 km. Oblicz przybliżoną powierzchnię kuli ziemskiej, zakładając że ma ona kształt sferyczny (długość promienia Ziemi zaokrąglij do całości, a wynik końcowy zaokrąglij do dziesiątek milionów).
(Podpowiedź: równik jest okręgiem i leży on w płaszczyźnie przechodzącej przez środek Ziemi).

Mamy podaną długość równika, która wynosi 40 000 km. Skoro równik jest okręgiem i leży w płaszczyźnie przechodzącej przez środek Ziemi oznacza to, że promień równika jest równocześnie promieniem kuli ziemskiej. Obliczamy zatem najpierw promień okręgu tworzonego przez równik (korzystając ze wzoru na długość okręgu, czyli: l = 2πr, gdzie „l” to długość okręgu):
l = 2πr (podkładamy za „l” długość równika)
40 000 km = 2πr (dzielimy obustronnie przez 2π i zaokrąglamy wynik do całości)
r = 6366 km
Promień równika wynosi zatem ok. 6366 km i jest to zarazem długość promienia kuli ziemskiej, a znając długość promienia kuli ziemskiej (oraz przyjmując, że powierzchnia Ziemi jest sferą) bez problemu obliczymy powierzchnię naszej planety:
P = 4πr2 = 4 π (6366 km)2 = 4 π 40525956 km2 509 264 183 km2 510 000 000 km2.
A zatem powierzchnia naszej kuli ziemskiej wynosi ok. 510 000 000 km2.

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się co to jest sfera oraz czym się charakteryzuje. Poznałeś wzór na powierzchnię sfery, a także rozwiązałeś wiele zadań z nią związanych.