Siatka prostopadłościanu

Siatka prostopadłościanu

Prostopadłościan to graniastosłup, którego każda ściana jest prostokątem, a dowolne dwie ściany są równoległe albo prostopadłe.

Każdy prostopadłościan ma osiem wierzchołków i dwanaście krawędzi. Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka nazywa się wymiarami prostopadłościanu.
Określa się je jako: długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu.

Dla danego graniastosłupa możemy policzyć pole powierzchni, objętość oraz długość przekątnej.

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu

Wzór na objętość prostopadłościanu

Wzór na długość przekątnej prostopadłościanu

,

gdzie a i b – długość i szerokość prostopadłościanu
c – wysokość prostopadłościanu.

Siatka prostopadłościanu to wszystkie jego boki, po rozcięciu go wzdłuż krawędzi.
Najłatwiej poprzez analogię można odnieść kształt prostopadłościanu do pudełek lub opakowań (np. kartonik po lekarstwie). Takie pudełko można przeciąć wzdłuż krawędzi i ułożyć na płasko. W taki oto sposób można otrzymać siatkę prostopadłościanu.

Siatki mogą mieć różne kształty. Na rysunku poniżej znajdują się trzy różne siatki tego samego prostopadłościanu.

PRZYKŁAD.
Narysuj siatkę prostopadłościanu o bokach podstawy 3 i 4cm oraz wysokości 5cm.

PRZYKŁAD.
Oblicz pole powierzchni graniastosłupa o 3 x 4 x 5 cm.

Na początek wypisujemy dane:
wysokość prostopadłościanu – 5cm
długość podstawy prostopadłościanu – 3cm
szerokość podstawy prostopadłościanu – 4cm

Korzystamy ze wzoru:

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu

Pc = 2ab + 2ac + 2bc

94cm2

Odp. Pole powierzchni graniastosłupa o wymiarach 3x4x5cm wynosi 94 centymetrów kwadratowych.

PRZYKŁAD 2.
Suma długości krawędzi prostopadłościanu jest równa 100cm . Ile wynosi wysokość prostopadłościanu, jeśli wiemy, iż w jego podstawie znajduje się kwadrat o boku długości 3cm?

Na początek wypisujemy dane:
suma krawędzi prostopadłościanu – 100cm
długość i szerokość podstawy prostopadłościanu – 3cm

W kolejnym etapie obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.
Wiemy, iż prostopadłościan ma dwanaście krawędzi, z czego w podstawie znajduje się osiem krawędzi, zatem

cm

Teraz wyznaczymy sumę długości krawędzi bocznych, korzystając z danych zadania:

100cm- 24cm = 76cm

W dalszej kolejności wyznaczymy długość krawędzi bocznej, która jest wysokością prostopadłościanu.

Wiemy, iż graniastosłup ma cztery krawędzie boczne, zatem

4H = 76/ po podzieleniu otrzymujemy
H = 76 : 4
H = 16cm

Odp. Wysokość prostopadłościanu, którego długość wszystkich krawędzi wynosi 100cm, wynosi 16cm.

PRZYKŁAD 3.
Oblicz pole powierzchni bocznej prostopadłościanu, który ma w podstawie prostokąt o bokach 5 i 6 cm, a jego wysokość wynosi 10cm.

Na początek wypisujemy dane:
wysokość prostopadłościanu – 5cm
długość podstawy prostopadłościanu – 6cm
szerokość podstawy prostopadłościanu – 10cm

Wiemy, iż w powierzchni bocznej znajdują się cztery prostokąty o wysokości 10cm, dwa prostokąty mają szerokość 5cm i dwa pozostałe szerokość 6cm.

Zatem korzystamy ze wzoru na pola prostokątów i w kolejnym etapie będziemy sumować wartości

P = 2ac+2bc
P = 2*5*10+2*6*10
P= 100 + 120
P = 220cm2

Odp. Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu, który ma w podstawie prostokąt o bokach 5 i 6 cm i o wysokości 10cm wynosi 220 centymetrów kwadratowych.

PRZYKŁAD 4.
Oblicz przekątną w prostopadłościanie o wymiarach 6 x8 x10cm

Na początek wypisujemy dane:
wysokość prostopadłościanu – 10cm
długość podstawy prostopadłościanu – 6cm
szerokość podstawy prostopadłościanu – 8cm
przekątna prostopadłościanu d – ?

Korzystamy ze wzoru na przekątną prostopadłościanu d

cm

Odp. Przekątna w prostopadłościanie o wymiarach 6 x8 x10cm wynosi cm.

PRZYKŁAD 5.
Spróbujemy zastanowić się jakie przedmioty z życia codziennego można przedstawić za pomocą siatki prostopadłościanu.

Na początek weźmy pod uwagę opakowanie zapałek. Za pomocą nożyczek rozcinamy cztery krawędzie boczne i rozkładamy je na elementy płaskie. Siatka pudełka zapałek (prostopadłościanu) wygląda następująco:

Innym przedmiotem w kształcie prostopadłościanu jest karton mleka. Po rozłożeniu go na poszczególne komórki otrzymujemy następującą siatkę.

Zadania do samodzielnego potrenowania.

Zadanie 1. Oblicz, ile wynosi pole powierzchni bocznej prostopadłościanu o wymiarach podstawy w kształcie prostokąta 5 i 12 cm, natomiast jego wysokość wynosi 10cm.

Zadanie 2. Ile wynosi objętość akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach długość 50cm, szerokość 30cm i wysokość 40cm?

Odpowiedzi do zadań
zadanie 1 – Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu wymiarach podstawy w kształcie prostokąta 5 i 12cm i wysokości 10cm wynosi 600 centymetrów kwadratowych.

zadanie 2 – Objętość akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach długość 50cm, szerokość 30cm i wysokość 40cm wynosi 60000 centymetrów sześciennych.