Silnia

Silnia

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się jaka jest definicja silni oraz rozwiążesz wiele zadań ściśle związanych z silnią.

Wykorzystanie silni:
Silnia znalazła szerokie zastosowanie w dziale matematyki o nazwie „kombinatoryka”. Bez szczególnego zagłębiania się w samą kombinatorykę silnia służy między innymi do obliczania permutacji, wariacji oraz kombinacji zbioru. Ale żeby nauczyć się liczyć permutacje, wariacje i kombinacje, należy najpierw uświadomić sobie czym tak naprawdę jest silnia oraz jakie są jej własności, a te informacje pozyskasz czytając niniejsze opracowanie.

Silnia:
Silnia pewnej liczby naturalnej „n” definiowana jest jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do „n”, a zatem silnia liczby naturalnej „n” jest równa: 1 2 3 4 ….. n.
Symbolem silni jest wykrzyknik stojący za daną liczbą naturalną np. 3! (co czytamy jako „trzy silnia”). Chcąc policzyć dokładną wartość trzy silnia zapisujemy iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 3:
3! = 1 2 3 = 6.
Ponadto przyjmuje się, że 1! = 1 oraz, że 0! = 1.
Zróbmy teraz kilka przykładów polegających na obliczeniu dokładnej wartość silni.

Przykład 1:
Oblicz:
a) 2!
b) 4!
c) 5!
d) 6!
e) 7!

a) Mamy obliczyć wartość 2! . Dwa silnia to iloczyn liczb naturalnych od 1 do 2, czyli:
2! = 1 2 = 2.
A zatem wartość 2! jest równa 2.

b) Musimy obliczyć wartość 4! . Cztery silnia to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do 4, czyli:
4! = 1 2 3 4 = 24.
A zatem wartość 4! jest równa 24.

c) Obliczamy wartość 5! . Pięć silnia to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do 5, czyli:
5! = 1 2 3 4 5 = 24 5 = 120.
A zatem wartość 5! jest równa 120.

d) Liczymy ile to jest 6! (korzystamy z definicji silni i obliczamy wartość sześć silnia):
6! = 1 2 3 4 5 6 = 120 6 = 720.
A zatem wartość 6! jest równa 720.

e) Obliczamy wartość 7! (korzystając z definicji silni):
7! = 1 2 3 4 5 6 7 = 720 7 = 5040.
A zatem wartość 7! jest równa 5040.

Jak możemy zauważyć (choćby na powyższych przykładach) wartości silni kolejnych liczb naturalnych rosną bardzo szybko. Ponadto (analizując przykłady b, c, d, e) można dostrzec ciekawą zależność, a mianowicie: n! = (n – 1)! n , czyli np. 90! = 89! 90.
Często, gdy mamy obliczyć wartość jakiegoś wyrażenia z silnią, musimy nieco pokombinować by jak najwięcej nam się uprościło/skróciło i by nie utrudniać sobie życia licząc na dużych liczbach.
Przykładowo chcąc policzyć wartość wyrażenia: nie musimy wiedzieć ile to jest 10! i 9! . Wystarczy, że mądrze skorzystamy z definicji silni i zobaczymy, że możemy coś poskracać. 10! można przedstawić jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do 10, a 9! można przedstawić jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do 9, czyli:
Zauważmy że iloczyn liczb od 1 do 9 z mianownika skróci się z iloczynem liczb od 1 do 9 z licznika. Po skróceniu w mianowniku zostanie nam 1, a w liczniku 10, a zatem: (Albo krócej ).

Przykład 2:
Oblicz:
a)
b)
c)
d)
e)

a) Mamy obliczyć wartość wyrażenia . Korzystamy z własności n! = (n – 1)! n i rozpisujemy licznik naszego ułamka, aby łatwiej dostrzec co może nam się skrócić:

A zatem wartość wyrażenia jest równa 7.

b) Musimy obliczyć wartość wyrażenia . Zauważmy, że 13! możemy zapisać jako 12! 13, a nawet jako 11! 12 13. Wykorzystujemy ten fakt, aby skrócić ułamek:
.
A zatem wartość wyrażenia równa jest .

c) Aby obliczyć wartość wyrażenia , korzystamy z poznanych wyżej własności:
.
A zatem wartość wyrażenia wynosi 3.

d) Korzystając z poznanych własności obliczamy wartość podanego wyrażenia:
(lub )
A zatem wartość wyrażenia jest równa 720.

e) Korzystając z własności silni liczymy wartość podanego wyrażenia:
.
A zatem wartość wyrażenia wynosi .

Silnia z niewiadomą „n”:
Teraz przejdźmy do upraszczania wyrażeń z niewiadomą „n”. Musimy wiedzieć, że skoro „n” jest pewną liczbą naturalną, to liczbą poprzedzającą liczbę „n” jest liczba (n – 1), a liczbą naturalną występującą zaraz po liczbie „n” jest liczba (n + 1). Czyli zamiast (n + 1)! możemy napisać n! (n + 1), albo (n – 1)! n (n + 1). Własności te wykorzystujemy do upraszczania wyrażeń z silnią.

Przykład 3:
Przedstaw w najprostszej postaci:
a)
b)
c)

a) Mamy dane wyrażenie . Aby przedstawić je w najprostszej postaci korzystamy z poznanych wyżej własności, czyli przekształcamy (n + 1)! z licznika na n! (n + 1), a następnie skracamy ułamek:

b) Korzystając z poznanych własności upraszczamy wyrażenie (n! możemy rozpisać jako (n – 2)! (n – 1) n):

c) Upraszczamy podane wyrażenie (zauważmy, że skoro 4n to jakaś liczba naturalna to liczbą naturalną poprzedzającą 4n jest liczba (4n – 1), czyli 4n! = (4n – 3)! (4n – 2) (4n – 1) 4n):
.

Ogólnie przy upraszczaniu wyrażeń z silnią dążymy do tego aby można było maksymalnie skrócić licznik i mianownik. Upraszczanie wyrażeń z silnią bardzo się przydaje przy rozwiązywaniu niektórych równań.

Przykład 4:
Rozwiąż równanie:
a) 21
b) 10! (n + 1)! – 11! n! = 0

a) Aby rozwiązać podane równanie upraszczamy najpierw jego lewą stronę (w taki sam sposób jak w przykładzie 3), a następnie obliczamy wartość „n”:
21 (przedstawiamy (n + 2)! z licznika jako (n + 1)! (n+2))
21 (skracamy (n + 1)!)
21
n + 2 = 21 (odejmujemy obustronnie 2)
n = 19
A zatem rozwiązaniem powyższego równania jest liczba 19.

b) Aby rozwiązać podane równanie upraszczamy najpierw jego lewą stronę (korzystamy z tego, że (n + 1)! = n! (n + 1) i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias), a następnie obliczamy wartość „n”:
10! (n + 1)! – 11! n! = 0 (przedstawiamy (n + 1)! jako n! (n + 1))
10! n! (n + 1) – 11! n! = 0 (przedstawiamy 11! jako 10! 11)
10! n! (n + 1) – 10! 11 n! = 0 (wyciągamy wspólny czynnik przed nawias, którym jest 10! n!)
10! n! ((n + 1) – 11) = 0 (upraszczamy wyrażenie w nawiasie)
10! n! (n – 10) = 0
Doprowadziwszy równanie do takiej postaci możemy łatwo zauważyć, że skoro iloczyn (10! n!) i (n – 10) jest równy zero, to albo (10! n!) = 0, albo (n – 10) = 0.
(10! n!) nie może być równe zero, ponieważ to by oznaczało, że n! = 0, a silnia żadnej liczby naturalnej „n” nie jest równa zero. A zatem zostaje nam jeszcze druga możliwość, a mianowicie: (n – 10) = 0. To natomiast da się już łatwo rozwiązać, bo gdy (n – 10) = 0, to n = 10 (bo 10 – 10 = 0).
A zatem rozwiązaniem naszego równania jest liczba 10.

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się jaka jest definicja silni oraz jakie są jej własności. Rozwiązałeś także wiele zadań związanych z silnią.