1. Czym jest sinus (sin)?
Sinus (czyli w skrócie właśnie sin) to pierwsza z funkcji trygonometrycznych. W trójkącie prostokątnym sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej w tym trójkącie.
Obrazowo wygląda to tak:
Wartości funkcji trygonometrycznych (w tym również funkcji sinus) dla danych kątów są stałe. Ich przybliżone wartości odczytujemy z tabeli:
Dla niektórych kątów, takich jak 30°, 45° czy 60°, wartości funkcji podajemy w ułamku zwykłym.
Przyjrzyjmy się więc sinusowi 30° w trójkącie prostokątnym.
Z własności trójkąta o kątach 30°, 60° i 90° znamy stosunek jego boków do siebie. Rozpatrując w nim funkcje sinus mamy więc:
Przy okazji wyznaczmy wartość funkcji dla 60°:
Teraz przyjrzyjmy się trójkątowi o kątach równych 45°, 45° i 90°:
Z własności jego boków bez problemu możemy wyliczyć poszukiwaną wartość funkcji:
W każdym z tych przypadków skracamy po prostu a.
Teraz przyjrzyjmy się tabeli funkcji sinus i cosinus dla wybranych, podstawowych kątów:
Nie trudno zauważyć, iż:
Ma to związek z poniższymi twierdzeniami:
1)
2)
Przykładowo: , a co za tym idzie
Powyższe twierdzenia to tzw. wzory redukcyjne funkcji dla kątów z pierwszej ćwiartki układu współrzędnych.
Funkcja sinus jest dodatnia tylko w ćwiartce pierwszej i drugiej, natomiast ujemna w trzeciej i czwartej.
Rozpatrzmy teraz związane z sinusem wzory redukcyjne z drugiej ćwiartki:
3)
Przykładowo:
4)
Przykładowo:
5)
Przykładowo:
Zwróćmy uwagę, iż w trzecim i piątym wzorze, gdzie wprost rozpatrujemy funkcję sinus, nie ma znaku minus, właśnie dlatego, że w drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, natomiast cosinus – nie.
W przypadku wzorów redukcyjnych mamy także do czynienia z tzw. kofunkcją, czyli w tym przypadku zmianami
Ważne! kofunkcję stosujemy tylko i wyłącznie w przypadku wzorów redukcyjnych z kątami 90° i 270°. We wzorach z 180° i 360° funkcja nie ulega zmianie.
Teraz przyjrzyjmy się wzorom redukcyjnym z sinusem w trzeciej ćwiartce (gdzie sinus jest ujemny):
6)
Przykładowo:
7)
Przykładowo:
8)
Przykładowo:
Została nam jeszcze czwarta ćwiartka z sinusem ujemnym:
9)
Przykładowo:
10)
Przykładowo:
11)
Przykładowo:
2. Sinusoida
Sinusoida to najprościej tłumacząc wykres funkcji sinus.
Funkcja sinus jest funkcją okresową. To znaczy, że istnieje taka liczba T (T≠0), że dla każdego argumentu x (x∈D) i dowolnej liczby całkowitej k (k∈Z):
Liczba T – zwana okresem podstawowym – dla funkcji sinus jest równa (czyli z miary łukowej 360°), więc:
Na przykład:
Przyjrzyjmy się teraz tabeli z wartościami funkcji dla wybranych argumentów.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z łatwością możemy zauważyć, że:
, gdyż wiemy już, że
Widzimy także, iż:
Są to niektóre z miejsc zerowych sinusoidy, które należą do ich ogólnego wzoru równego:
Z własności wykresu funkcji sinus możemy zauważyć też, że:
Wynika z tego, że zbiorem wartości tej funkcji jest:
< >
Nie wspomnieliśmy jeszcze o dziedzinie sinusa, a jest nią zbiór liczb rzeczywistych.
Z wykresu odczytać możemy również poniższe własności:
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla:
> >
Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla:
< <
Funkcja jest rosnąca w przedziałach:
↗ dla < > ,
Funkcja jest malejąca w przedziałach:
↘ dla < > ,
Ważna własnością, jaką również mogliśmy zauważyć w tabeli jest:
Przykładowo:
Własność ta pozwala nam się pozbywać minusa w kątach ujemnych i łatwiej obliczyć szukaną wartość funkcji trygonometrycznej.
Na przykład:
Oczywiście możemy to obliczyć w inny sposób, z pozoru krótszy, jednak pamiętać trzeba o znaku minus, gdyż kąt -150° leży w III ćwiartce układu współrzędnych, gdzie sinus jest ujemny. W pierwszym sposobie nie musimy się o to martwić, gdyż kąt 150° leży w II ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni.
Kolejną ważną własnością jest:
W tabeli mamy na przykład:
Własność ta może nam się przydać przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych właśnie z funkcją sinus. Warto ją więc zapamiętać.
3. Wybrane tożsamości trygonometryczne z sinusem.
1)
„jedynka trygonometryczna”
Jest to najbardziej znana tożsamość o postaci:
Możemy wyliczyć z niej kwadrat sinusa lub sam sinus:
2) wzór na funkcję tangens
Możemy z niego wyliczyć sinusa:
Należy tu pamiętać jednak o dziedzinie, którą nie będzie zbiór liczb rzeczywistych, lecz .
3) wzór na cotangens
W tym przypadku – jako że tangens jest odwrotnością cotangensa i na odwrót ( oraz ) – sinus znajduje się w mianowniku ułamka.
Dziedziną jest więc
.
4)
Tu również jest inna dziedzina, równa
.
4. Sinus sumy i różnicy kątów.
Załóżmy, że szukamy wartości funkcji sinus dla kąta o mierze 75°. Należy zauważyć, iż owa miara jest sumą miar kątów 30° i 45°, których wartości sinusów znamy. Z pomocą przychodzi nam poniższy wzór na sinus sumy kątów:
Wykorzystajmy go więc do powyższego przykładu:
Aby utrwalić sobie ten wzór, wykorzystajmy go jeszcze raz do obliczenia wartości funkcji sinus dla 105° (czyli sumy 60° i 45°):
Ok, teraz zastanówmy się nad sinusem kąta o mierze 15°. Nie możemy do jego obliczenia wykorzystać wzoru na sinus sumy kątów, natomiast jest to niewątpliwie różnica 60°-45° lub 45°-30°. Do takich właśnie zadań mamy wzór na sinus różnicy kątów:
Z jego pomocą wykonajmy powyższy przykład dwoma sposobami, rozpatrując po kolei pierwszą i drugą różnicę:
Dla ciekawych, we wzorach na cosinus sumy i różnicy kątów również występują obie te funkcje:
5. Sinus kąta podwojonego.
Za pomocą powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na sinus kąta podwojonego równy:
Jego wyprowadzenie jest bardzo proste. Jedyne, co musimy zrobić, to zauważyć, iż , a wzór na sinus sumy kątów już znamy. Mamy więc:
Owy wzór może przydać nam się na przykład przy obliczaniu wartości sinusa dla kąta o mierze 120°, gdybyśmy zapomnieli odpowiedniego wzoru redukcyjnego:
Ciekawostką jest, iż w dwóch z trzech wzorów na cosinus kąta podwojonego występuje kwadrat funkcji sinus:
oraz
6. Sinus połowy kąta.
Jest to wzór bardzo rzadko stosowany i dość trudny, niemniej jednak istnieje i wygląda tak:
Jego wyprowadzenie rozpoczniemy od przed chwilą poznanego drugiego wzoru na cosinus kąta podwojonego:
/
Teraz zmieniamy kąt na , natomiast kąt na :
/
I koniec.
7. Suma i różnica sinusów.
Teraz przejdźmy do tych dość trudnych wzorów:
Pierwszy to wzór na sumę sinusów dwóch dowolnych kątów:
Drugi to wzór na różnicę cosinusów kątów:
Dodatkowo, dwa sinusy odnajdziemy również we wzorze na różnicę cosinusów o postaci:
8. Podstawowe równania trygonometryczne z funkcją sinus.
Jako pierwszy łatwy przykład mamy:
/
Spoglądamy teraz na sinusoidę lub odczytujemy z tabelki choć jedno z rozwiązań:
To jednak jeszcze nie koniec, gdyż takie mają zazwyczaj po dwa rozwiązania. Wykorzystujemy więc wzór, że i otrzymujemy:
Ostateczną odpowiedzią będzie więc, że
Ogólny wzór na równania typu
wygląda następująco:
jest tu jednym ze znalezionych rozwiązań – albo odczytanym z tabelki, albo z sinusoidy.
Mogą być też oczywiście równania sprzeczne typu:
lub
Obie te wartości nie mieszczą się w zbiorze wartości funkcji sinus, który – w ramach przypomnienia – mieści się w przedziale <
>.
Niektóre równości trygonometryczne możemy sprowadzić do kwadratowych:
Niech < >
Tak więc sprowadzając równanie trygonometryczne do równania kwadratowego również możemy je rozwiązać. Wystarczy podstawić za daną funkcję (w tym przypadku sinus) przykładowo literę t i dalej rozwiązywać jak równanie kwadratowe. Na koniec należy wrócić do podstawienia i rozwiązać uproszczone równanie.
|
