Sin 30 stopni

Zacznijmy od przypomnienia sobie czym jest sinus.
Sinus to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta, którego chcemy podać sinus do przeciwprostokątnej.
Nazwy przyprostokątna i przeciwprostokątna informują nas, że sin liczymy w trójkącie prostokątnym.
Sinus 30 możemy obliczyć w oparciu o trójkąt 30,60,90.
Przypomnijmy założenia między bokami w trójkątach 30,60,90.
Naprzeciwko kąta o największej mierze (90) leży najdłuższy bok (2a)
Naprzeciwko kąta o średniej mierze (60) leży bok o średniej długości (a)
Naprzeciwko najmniejszego kąta (30) leży najkrótszy bok (a)
Pokażmy na rysunku

Zgodnie z definicją obliczmy sin 30.
„Stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do przeciwprostokątnej”
Zatem sin30=
„a” możemy skrócić i zostaje nam .
Sin kąta 30 zawsze ma wartość .
Obliczmy wszystkie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30,60, a dowiemy się pewnych zależności.
Przypomnijmy definicje poszczególnych funkcji trygonometrycznych.
Sinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko naszego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy naszym kącie (przylega do naszego kąta) do przeciwprostokątnej.
Tangens jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko naszego kąta do długości przyprostokątnej przylegającej do tego kąta.
Cotangens jest odwrotnością tangensa, więc jego definicja brzmi: Cotangens to stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do naszego kąta do przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta.
Znając definicję poszczególnych funkcji trygonometrycznych obliczmy ich wartości dla kątów 30 i 60.

Jak możemy zauważyć pojawiły nam się pewne zależności:

Zadanie 1.
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym jeżeli wiesz, że przeciwprostokątna ma długość 14, bok a przyprostokątne mają długości 7 i 7.

Mamy podane długości boków możemy więc zapisać zgodnie z oznaczeniami na rysunku
a=7
b=7
c=14
Już tutaj możemy zorientować się, że trójkąt, który mamy podany w treści zadania to trójkąt o kątach 30,60,90.
Jeżeli naprzeciwko kąta 90 leży bok 2a, a w naszym przypadku wynosi on 14 to obliczmy jaką długość ma bok „a”, czyli ten leżący naprzeciwko kąta 30.
2a=14
a=7
Zatem bok, który ma długość 7 ( na naszym rysunku to ten, który leży naprzeciwko kąta ) to bok, który leży naprzeciwko kąta 30.
Co oznacza, że
=30
W takim razie obliczmy kąt beta.
90+ + =180
90+30+ =180
120+ =180
=180-120
=60
Mamy więc trójkąt 30,60,90.
Możemy skorzystać z wartości, które wyżej wyznaczaliśmy, ale jeśli ich nie pamiętamy to obliczmy wartości poszczególnych funkcji trygonometrycznych podstawiając długości boków.

Obliczmy więc wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 30.

Teraz obliczmy wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 60.

Wartości funkcji trygonometrycznych po podstawieniu długości poszczególnych boków zgadzają się z tymi, które wcześniej obliczyliśmy ogólnie, bez konkretnych boków.