Sin 60

Sinus:
Powyżej jest trójkąt prostokątny. Sinus α. Jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α, czyli „c” do długości przeciwprostokątnej „b”.
sin α =

Cosinus:
Jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie „α”, czyli długości „a” do długości przeciwprostokątnej „b”.
cos α =

Tangens:
Jest to stosunek długości przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta „α”, czyli długości „c”, do długości przyprostokątnej, leżącej przy kącie „α”, czyli długości „a”
tan α =

Cotangens:
Jest to stosunek przyprostokątnej, leżącej obok kąta „α”, czyli długości „a”, do długości przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta „α”, czyli długości „c”.
cot α = .

Tabela trygonometryczna:
Tabela przedstawiona poniżej, zawiera informacje o wartościach funkcji trygonometrycznych dla konkretnych ustalonych kątów, o miarach 0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 180° funkcje trygonometryczne, to takie, jak sinus, cosinus, tangens, cotangens. Tabela trygonometryczna umożliwia nam odczytanie wartości funkcji trygonometrycznej dla wszystkich kątów. Tablice trygonometryczne, przed wynalezieniem kalkulatorów kieszonkowych, były wykorzystywane do nawigacji, nauki oraz inżynierii. Znak „-” w tabeli oznacza, że wartość funkcji trygonometrycznej nie istnieje.

W tabeli powyżej przedstawiłam tabelę trygonometryczną dla wybranych kątów o miarach 0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 180°, funkcje sinus, cosinus, tangens, cotangens o miarach kątów przedstawionych powyżej najczęściej spotykamy w zadaniach. Poniżej przedstawię 7 miar wybranych przeze mnie kątów w tabeli trygonometrycznej – są to kąty ostre. Wartość funkcji trygonometrycznej dla tych kątów można przedstawić w przystępny sposób 😉

Istnieją również tabele, które zawierają przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla wszystkich kątów. Pierwsze przykłady przedstawię poniżej (od 1° do 21°) :

Teraz przejdę do zadań do których potrzebne będą tabele trygonometryczne.

Zadanie 1: – korzystanie z wzoru na pole równoległoboku.
Obwód równoległoboku jest równy 38cm. Jeden z boków tego równoległoboku na długość 12cm. Sinus kąta „α” wynosi 60°. Oblicz Pole równoległoboku.

Zadanie 2:
Ile wynosi kąt α, jeżeli sin α wynosi 0,86664 ?

Zadanie 3:
Samolot startował pod kątem 60°. Na jakiej znalazł się wysokości, jeżeli pokonał drogę 100km? Uwaga. Wiadomo, że samolot podczas pokonywania tej drogi, nie zmieniał kierunku lotu.

Zadanie 4: – korzystanie z wzoru na pole równoległoboku.
Przekątne równoległoboku mają długości 6 cm i 8 cm. Kąt przecięcia przekątnych jest równy . Ile wynosi Pole tego równoległoboku?

Odpowiedź 1:
By uprościć rozwiązanie tego zadania, najpierw zobrazuję jego treść.

Wzór, który wykorzystam, by obliczyć pole równoległoboku, to P=e*f*sin α. Załóżmy, że „f” jest równe 12cm.
Obliczmy teraz bok „e” wykorzystując do tego informację, że obwód całego równoległoboku jest równy 38cm.
Wzór na obwód równoległoboku, to Obw.=2e*2f. W takim razie obliczmy, ile wynoszą razem dwa boki „f”. 12cm*2=24cm.
Wystarczyło wartość 12cm pomnożyć razy dwa.
Następnie trzeba odjąć tę wartość (24 cm) od wartości całego pola równoległoboku. 38cm-24cm=14cm. Długość (14 cm) to długości dwóch boków „e”.
By obliczyć ile wynosi długość boku „e” musimy wartość 14cm podzielić na dwa. 14cm_2=7cm. Długość „e” jest równa 7 cm.
Następnie odczytuje wartość z tabeli trygonometrycznej dla sinus kąta α, równego 60°. Teraz podstawiam wartości do wzoru podanego powyżej.
P=12cm*7cm* = 84cm2 * = 42 cm2 Więc, pole równoległoboku jest równe 42 cm2.

Odpowiedź 2:
By wiedzieć, ile wynosi sinus kąta α, musimy skorzystać z tabeli trygonometrycznej podanej w innym, sprawdzonym źródle, na przykład wiarygodnej stronie internetowej. Po prostu odczytujemy wartość z tamtej tabeli. Fragment takiej tabelki przedstawię poniżej. Najpierw znajdujemy kolumnę o nazwie „Sin α”, a następnie odnajdujemy wartość przybliżoną do wartości 0,86664, jest to wartość w tym przypadku 0,866. Teraz w tym samym wierszu w kolumnie „α” odczytujemy wartość 60°. Wartość 0,866 była przybliżona do wartości 0,86664, więc w odpowiedzi nie możemy napisać że jest to po prostu 60°, musimy zapisać, że jest to wartość przybliżona do 60°.

Odpowiedź 3:
By obliczyć to zadanie wykorzystam funkcję sinus kąta 60°. By uprościć rozwiązanie tego zadania, zobrazuję jego treść.

x – wysokość, którą mamy obliczyć.
sin 60° =
x = 100 km * (sin 60°)
x = 100 km * = 50 km.
Można obliczyć to zadanie, wykorzystując do niego trójkąt charakterystyczny, wynikający z twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że w trójkącie charakterystycznym o kątach 90°, 60°, oraz 30°, odcinek pomiędzy kątem 60°, a kątem prostym jest równy „a”, odcinek między kątem prostym, a kątem 30° jest równy „a„, a odcinek między kątem 60°, a 30° jest równy „2a”. Więc w tym przypadku, kiedy „2a” jest równe 100 km, „a” będzie równe 50 km (wartość 100 km podzieliłam przez 2), oraz kiedy „a” jest równe 50 km, to w takim razie „a” będzie równe 50 km. Czyli wysokość będzie równa 50 km, wynik zadania jest taki sam, jak rozwiązywałam to zadanie wykorzystując tabelę trygonometryczną, więc rozwiązanie zadania jest poprawne.

Odpowiedź 4:
By uprościć rozwiązanie tego zadania, najpierw zobrazuję jego treść.

Wzór na Pole równoległoboku to połowa iloczynu długości przekątnych tego równoległoboku, sinusa kąta „α”. Najpierw musimy się dowiedzieć, ile stopni odpowiada wartości . Wiemy, że π jest równe 180°. Więc będzie trzy razy mniejsze. 180°:3=60°. Możemy odczytać to też z tabeli trygonometrycznej. Wartość funkcji sinus kąta „α” dla 60 stopni wynosi . Więc, Otrzymane wartości, wystarczy podstawić do wzoru na pole równoległoboku. P=8cm * 6cm * * = 48 * = 12 Pole równoległoboku wynosi 12 cm2.