Sin cos tg ctg

Żebyśmy mogli przejść do zadań żeby poćwiczyć sinusy, cosinusy, tangensy i cotangensy musimy zacząć od wyjaśnienia, która funkcja trygonometryczna jest czym.
Sinus kąta to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej.
Cosinus kąta jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej przy kącie (tej, która do kąta przylega) do długości przeciwprostokątnej.
Tangens kąta to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie (przylega do kąta)
Cotangens kąta to odwrotność tangensa. Cotangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie (przylegającej do tego kąta) do przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta.
Sinus jest dodatni dla kątów od 0 do 180 stopni, pozostałych kątach wartość sinusa jest ujemna.
Cosinus jest dodatni dla kątów o mierze od 0 do 90 stopni oraz dla kątów o mierze od 270 do 360 stopni, w pozostałych kątach cosinus jest ujemny.
Tangens jest dodatni dla kątów od 0 do 90 stopni oraz dla kątów o mierze od 180 do 270 stopni, w pozostałych jest ujemny.
Cotangens jest dodatni dla kątów od 0 do 90 stopni oraz dla kątów o mierze od 180 do 270 stopni, w pozostałych cotangens jest ujemny.
Żeby lepiej to zapamiętać przypomnijmy podział układu współrzędnych na ćwiartki.

W pierwszej ćwiartce znajdują się kąty od 0 do 90 stopni.
W drugiej ćwiartce znajdują się kąty od 90 do 180 stopni.
W trzeciej ćwiartce znajdują się kąty od 180 do 270 stopni.
W czwartej ćwiartce znajdują się kąty od 270 do 360 stopni.
Żeby lepiej zapamiętać kiedy wartości trygonometryczne są dodatnie, a kiedy ujemne przedstawię Wam wierszyk.

W pierwszej wszystkie są dodatnie,
W drugiej tylko sinus,
W trzeciej tangens i cotangens,
A w czwartej cosinus.

Przećwiczmy teraz obliczanie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.
Zadanie 1.
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkącie przedstawionym poniżej.

Mamy zaznaczony kąt . Drugi kąt, leżący naprzeciwko boku o długości nazwijmy .
Zacznijmy od obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta .
Skoro sinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do przeciwprostokątnej, to w naszym przypadku:

Skoro cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej to cosinus w naszym przypadku jest równy:

Skoro tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej leżącej przy kącie to dla naszego kąta:

Cotangens to odwrotność tangensa, więc na dla naszego kąta:

Wyznaczmy teraz wartości trygonometryczne dla drugiego kąta, czyli kąta .




Zadanie 2.
Podaj wartości trygonometryczne:
a)
b)
c)
d)
Żeby obliczyć wartości trygonometryczne tych kątów skorzystamy z wzorów redukcyjnych, znajomości kiedy która wartość trygonometryczna jest dodatnia, a kiedy ujemna, a także z tabelki, którą warto się nauczyć.
Ja zamieszczę Wam ją poniżej i bardzo zachęcam do jej nauczenia się.

Teraz przedstawię Wam wzory redukcyjne z, których będziemy korzystać.

W podpunkcie a) mamy obliczyć
Korzystając z wzorów redukcyjnych możemy zauważyć, że to

Z tabelki odczytujemy, że
Odpowiedź:

W podpunkcie b) mamy obliczyć .
Znając wzory redukcyjne zauważmy, że to

Z tabelki odczytujemy, że , więc
Odpowiedź:

W podpunkcie c) mamy obliczyć
Z wzorów redukcyjnych wiemy, że:

Z tabelki odczytujemy, że , więc
Odpowiedź:

W podpunkcie d) mamy obliczyć
Korzystamy z wzorów redukcyjnych i rozpisujemy, że

Z tabelki odczytujemy wartość wynosi ona , więc
Odpowiedź: