Sin2x

Funkcja to funkcja ,
gdzie . .
Funkcja zbudowana jest na bazie funkcji , więc jej analizę również można oprzeć na funkcji .

Zobaczmy kilka właściwości funkcji .

Jeżeli w funkcji za wstawimy , to możemy zauważyć, że funkcja przyjmuje te same wartości co funkcja dla argumentów dwa razy mniejszych niż funkcja . Sprawdźmy.

Przykład. , , ,
Okres funkcji wynosi , więc jest dwa razy mniejszy od okresu funkcji .

Zobaczmy wykres funkcji .

Dla ułatwienia odczytania wykres zaznaczyłem na nim kilka miejsc zerowych funkcji. Łatwo zauważyć, że okres funkcji wynosi , także rzucają się w oczy pewne podobieństwa do funkcji .

Porównajmy teraz wykresy obu funkcji.

Zieloną linią zaznaczona jest funkcja , na czerwono natomiast funkcja .

Dowód.

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy rozpisać funkcję w zależności tylko od funkcji lub funkcji . , podstawiamy i mamy lub analogicznie .
Właściwości te przydatne są przy rozwiązywaniu równań i nierówności, co zostało omówione poniżej.

Jak rozwiązywać równania i nierówności, w których pojawia się funkcja ?
Jeżeli jest równanie lub nierówność tylko z funkcją , to rozwiązujemy je tak samo jak równanie lub nierówność z funkcją , jedynie pamiętamy, że argumentem naszej funkcji jest , a my poszukujemy samego .
Przykłady.
a) .

b)


Korzystając z wykresu, rozwiązujemy nierówność:

c)

Pamiętajmy, by uważać na różne rodzaju pułapki, czyhające w zadaniach. Prawdą jest, że . Jeżeli ktoś tego nie zauważył, z pomocą przyjdzie rozpisanie funkcji .


, co również jest prawdą dla .

Gdy w równaniach i nierównościach mamy do czynienia z kilkoma różnymi funkcjami, najczęściej rozpisujemy funkcję korzystając z jednego z podanych wzorów.

Przykład.
a)





Na koniec poddajmy funkcję szczegółowej analizie:

Dziedzina.
Zbiór wartości.
Miejsca zerowe. , , . Miejscami zerowymi funkcji są , .
Punkt przecięcia z osią Oy. . Punkt przecięcia funkcji z osią Oy to .
Granice na krańcach dziedziny. Funkcja jest funkcją okresową, nie istnieje granica na krańcach dziedziny.
Przedziały monotoniczności. Najłatwiej przedziały monotoniczności odczytać z wykresu.
rośnie w ,
maleje w .
Ekstrema. W ich znalezieniu również posłużymy się wykresem funkcji .
osiąga wartość największą równą dla , ,
osiąga wartość najmniejszą równą dla , .
Przedziały wklęsłości i wypukłości. Obliczamy drugą pochodną funkcji : . Rysujemy wykres: dla
dla
Funkcja jest wypukła dla
Funkcja jest wklęsła dla
Punkty przegięcia. . Punktami przegięcia funkcji są , .