Sin30

W podanym opracowaniu możesz odnaleźć informację dotyczące funkcji trygonometrycznych. Analizując treść znajdziesz tu liczne przykłady ćwiczeń wraz z rozwiązaniami. Opracowanie zawiera również zadania które pojawiły się na maturze w latach od 2015 do 2021 (czyli na maturze w nowej formule) w których można wykorzystać zależność: w trakcie przedstawienia metod rozwiązywania tych zadań.

Struktura opracowania:
Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego ze szczególnym uwzględnieniem zależność:
Funkcja sinus w układzie współrzędnych
Ćwiczenia
Wykres sinusoidy i odnajdywanie wartości zależność:
Ćwiczenia
Zadania maturalne

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego ze szczególnym uwzględnieniem zależność:

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego:

Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciw prostokątnej nazywamy sinusem kąta.

Dla powyższego kąta sinus kąta
w szczególnym przypadku gdy kąt jest kątem o mierze to wartość funkcji to sinus przyjmuje wartość równą więc:

Jeśli zastanowimy nad tym w jaki sposób udowodnić powyższe stwierdzenie, że wartość funkcji sinus dla wynosi to możemy spotkać się z różnymi sposobami przedstawienia dowodu na to stwierdzenia:

DOWODU:

Rozważmy trójkąt równoboczny o boku długości 1. Podzielmy ten trójkąt na połowę w taki sposób jak przedstawia to poniższy rysunek.

W kolejnym kroku wróćmy do definicji funkcji sinus: czyli

Funkcja sinus w układzie współrzędnych

Ćwiczenie: W układzie współrzędnych został zaznaczony punkt o rzędnej punktu: 10. Rysunek poniżej:

Jaka jest odległość tego punktu od początku układu współrzędnych jeśli kąt ma miarę

Rozwiązanie:




Odpowiedź: Odległość tego punktu od początku układu współrzędnych jest równa 20.

Ćwiczenie: Wyznacz rzędną punktu jeśli wiesz że leży ona na ramieniu końcowym kąta
oraz długość ramienia wynosi: 10.

Rozwiązanie:

Odpowiedź: Rzędna punktu wynosi 5

Wykres sinusoidy i odnajdywanie wartości zależność:

Oto wykres sinusoidy:

Zapiszmy w mierze łukowej:
Układamy proporcję:


stąd:

Widzimy z powyższego wykresu, że punkt należy do wykresu funkcji sinus więc:

Ćwiczenie:
a) Oblicz pole trójkąta o bokach długości 15 cm i 20 cm oraz kącie między nimi

Rozwiązanie:
W tym ćwiczeniu wykorzystamy wzór:

b) Oblicz pole rąbu boku długości 120 cm i kącie ostrym .

Rozwiązanie:
W tym ćwiczeniu wykorzystamy wzór:

c) Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 24 cm ,50 cm oraz kącie ostrym

Rozwiązanie:
W tym ćwiczeniu wykorzystamy wzór:

W podanych zadaniach można wykorzystać informację o tym że:

Ćwiczenie: Drabinę o długości 10 m oparto o ścianę budynku tak, że dotyka ściany na wysokości 5 m. Jaki kąt tworzy drabina z ziemią?

Stąd miara kąta wynosi

Wybrane zadania maturalne

Oto zadanie zamknięte które wystąpiło w maju w 2019 roku na egzaminie maturalnym na poziomie podstawowym

Zadanie:[Źródło: Microsoft Word – 20190315 MMA-P1A1P-192 (cke.gov.pl) Zadanie 16]
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150° . Pole tego rombu jest równe
A.
B.
C.
D.

Rozwiązanie:
W tym zadaniu wykorzystamy wzór:

Wcześniej zauważmy jednak że jeśli kąt rozwarty w rąbie ma miarę 150° to kąt ostry w tej figurze ma miarę 30° co pozwoli nam na zapisanie:

Odpowiedź: Pole rąbu wynosi 8.

Oto zadanie zamknięte które wystąpiło w maju w 2017 roku na egzaminie maturalnym na poziomie podstawowym

Zadanie:[Źródło: MMA-P1_1P-172.pdf (cke.gov.pl) Zadanie 17]

Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy :

Rozwiązanie:

Wykorzystując wniosek z twierdzenie Pitagorasa () możemy zapisać:

Odpowiedź: Obwód trójkąta wynosi

Oto zadanie zamknięte które wystąpiło w maju w 2015 roku na egzaminie maturalnym (sierpień) na poziomie podstawowym

Zadanie:[Źródło: Matura poprawkowa – sierpień 2015: Zadanie 18]

Pole rąbu o boku długości i kącie rozwartym 150° jest równe
A.
B.
C.
D.

Rozwiązanie:
W tym zadaniu wykorzystamy wzór:

Wcześniej zauważmy jednak że jeśli kąt rozwarty w rąbie ma miarę to kąt ostry w tej figurze ma miarę co pozwoli nam na zapisanie:

Odpowiedź: Pole rąbu wynosi 27.