Sinus

Czym jest sinus, jak wygląda jego wykres oraz jakie ma zastosowania? To są pytania, na które chcemy sobie odpowiedzieć w tym opracowaniu. Nazwa sinus. Brzmi znajomo? Uczniowie szkół średnich i starsi pewnie nie będą mieli problemu z powiedzeniem, czym on jest. Jeśli jednak nie pamiętasz czym on jest, przeczytaj poniższy artykuł.

Na wstępie narysujmy sobie trójkąt prostokątny. Zaznaczmy w nim kąt ostry oraz kąt prosty. Następnie podpiszmy jego boki.

Bok c jest przeciwprostokątną trójkąta, bok a jest przyprostokątną naprzeciw kąta, a bok b jest przyprostokątną przy kącie. Jeśli będziemy porównywać długości poszczególnych boków, używamy funkcji trygonometrycznych. Wyróżniamy cztery funkcje, lecz my skupimy się na sinusie kąta alfa.

Jak widzisz, aby obliczyć sinus kąta alfa wystarczy obliczyć stosunek długości przyprostokątnej przy kącie do przeciwprostokątnej. Tak jak masz na grafice powyżej narysowane, najpierw patrzysz na bok naprzeciw kąta, a później na przeciwprostokątną. Oczywiście, wszystkie funkcje trygonometryczne powinno znać się na pamięć. Symbolicznie możemy zapisać tę zależność jako: .

Znając tę zależność bez problemu możemy rozwiązać pierwsze zadanie.

Zadanie numer 1

Drabinę, której długość to 5m Janek ustawił w taki sposób, że opierała się pod pewnym kątem o ścianę. Na wysokości 4,8 m drabina dotknęła ściany. Jaki jest kąt między ziemią a drabiną?

Aby rozwiązać takie zadanie zaczynamy od wykonania rysunku.

Zauważamy, że jeśli w odpowiedni sposób stworzymy zależność podanych boków, otrzymamy znaną nam funkcję trygonometryczną.

Znając tę wartość korzystamy z tablic trygonometrycznych. Wyróżniamy dwa rodzaje tablic. Jedne mają podane dokładne wartości.


Inne zaś posiadają przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych i to z nich najczęściej się korzysta.

Jak się z nich korzysta? Z obu rodzajów korzysta się w ten sam sposób. Najpierw zadajemy sobie pytanie czy będziemy szukać wartości trygonometrycznej dla danego kąta, czy też będziemy szukać dla jakiego kąta dana funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość. Aby rozwiązać nasze zadanie musimy posłużyć się drugą opcją. Ponadto zaznaczam, że będę używać tablic z przybliżonymi wartościami. W kolumnie oznaczonej sinusem szukamy wartości zbliżonej do 0,9600. Tę wartość znajdujemy w jednym z ostatnich wierszy. Następnie patrzymy w tym samym wierszu gdzie znajduje się ta wartość na kolumnę, w której podane są miary kątów. Odczytujemy ten kąt (w przybliżeniu): 74°.

Odpowiedź do zadania: Drabina jest ustawiona pod kątem 74° do podłoża.

Skoro już mniej więcej potrafimy rozwiązywać proste zadania związane z sinusem, możemy wspomnieć o ciekawej historii nazewnictwa funkcji trygonometrycznych. Generalnie rzecz ujmując, wszystkie nazwy funkcji trygonometrycznych pochodzą z łaciny. Jednakże, my Polacy lubimy mieć zawsze swoje spolszczone nazwy. Tak też się stało w przypadku tych funkcji. Gdy zbliżał się koniec XVIII wieku wielu matematyków polskich miało swoje lata świetności. Tak też było z Jankiem Śniadeckim. On bardzo chciał wprowadzić na tak zwany matematyczny rynek spolszczone skróty oraz pełne nazwy funkcji trygonometrycznych. Wedle opisywanego matematyka znany nam sinus brzmiałby „wstawa”. Jego skrót składałby się z trzech pierwszych liter, a więc skrót wyglądałby następująco: „wst”. W związku z tym, że inne funkcje trygonometryczne nie są tematem tego opracowania, pozwolę sobie ominąć nazewnictwo pozostałych funkcji.

Jak wiesz, każdą funkcję np. kwadratową czy też liniową, możemy przedstawić za pomocą wzoru, jak i graficznie. Mam tu oczywiście na myśli przedstawienie funkcji za pomocą wykresu. Z funkcją sinus jest analogicznie, dlatego również możemy przedstawić ją za pomocą wykresu. Gdy mówimy o funkcji kwadratowej to wiemy, że wykresem funkcji jest parabola. W przypadku funkcji sinus, wykresem jest fala sinusoidalna. Ogólny wzór funkcji sinus wygląda o tak: . Jak możesz zauważyć, kształt wykresu jest bardzo podobny do takiej płynącej, falującej fali.

Jednakże, skoro powiedziałam o fali, to mógł ci się z tym skojarzyć pewien dział fizyki. On zaś zajmuje się ruchem drgającym. W związku z tym, postać tej funkcji można również przedstawić przy pomocy równania fizycznego z uwzględnieniem amplitudy, pulsacji, czasu oraz przesunięcia czasowego. Brzmi skomplikowanie? Mam nadzieję, że teraz już będzie wszystko jasne. Wzór więc wygląda następująco:
Myślę, że będziesz kojarzyć, że A stanowi amplitudę drgań. Pamiętasz czym była amplituda? Była ona momentem, w którym następowało największe wychylenie z położenia równowagi. Omega, a więc pulsacja jest wyrażona w radianach na sekundę. Przesunięcie fazowe jest to ostatni element wzoru funkcji.

Skoro więc mówimy tutaj o ruchu drgającym to na pewno możemy wspomnieć o bardzo szerokim zastosowania fali sinusoidalnej w życiu codziennym. Jeśli jesteś kartografem, elektrykiem, elektrotechnikiem, astronomem czy też muzykiem to pewnie wiesz, że bez istnienia tej fali wiele rzeczy byłoby niemożliwych. Tak więc fale te otaczają nas cały czas. Są one naszą przysłowiową codziennością. Gdzie w takim razie sinusoidę znajdzie przykładowy elektryk podczas swojej pracy? Szczerze, to nawet i my sami podczas analizy tego, co znajduje się w gniazdkach elektrycznych możemy powiedzieć, że spotykamy się z sinusoidą. Dzięki postępie nauki możemy zmierzyć natężenie prądu elektrycznego. Wykres jego będzie właśnie w kształcie sinusoidy. Sinusoida wygląda więc następująco.

Jak już wiesz, wykres przypomina nam płynącą falę. Ale skąd bierze się taki wygląd tej sinusoidy?

Sinusoida zawdzięcza wszystko ruchowi po okręgu.


Spójrzmy na grafiki powyżej. Widzisz na nich okrąg. Każdy z nich ma swój środek w przecięciu się dwóch szarych prostych pod kątem prostym. Tym samym następuje podział okręgu na cztery części, a w zasadzie na cztery ćwiartki tak jak w układach współrzędnych. W każdym momencie ruchu po okręgu mamy możliwość określenia odległości obiektu od środka okręgu. Tę możliwość mamy dzięki promieniowi okręgu. Wraz z ruchem po okręgu promień ten będzie „krążyć”. Tym samym, za każdym razem tworzy się inny trójkąt o innych kątach.

W związku z tym, że widzimy podział na cztery ćwiartki możemy zauważyć, że w pierwszych dwóch ćwiartkach otrzymamy wartości sinusa dla kątów od 0° do 180°. W kolejnych dolnych ćwiartkach otrzymamy wartości sinusów ujemne, dla kątów od 180° do 360°. Tym samym mamy wytłumaczenie, dlaczego fala sinusoidalna wygląda tak a nie inaczej. Najpierw wartości rosną nad osią X, później maleją nad osią X, następnie przechodzą przez oś X ciągle malejąc, później pod osią X wartości zaczynają rosnąć aż do dotarcia do osi X. W tym momencie cykl się zamyka. W takiej sekwencji cały czas jest powtarzana ta fala. Spróbujmy jeszcze raz spojrzeć na powyższe ilustracje. Jak widzisz, zawsze promień tworzy z prostą tworzącą ćwiartki pewien kąt. Dzięki utworzeniu przerywanej pomarańczowej linii za każdym razem, gdy wykonujemy ruch po okręgu, tworzymy nowy trójkąt prostokątny. Dzięki temu za każdym razem możemy obliczyć sinus utworzonego kąta. Tak więc jest to pierwszy sposób narysowania wykresu fali sinusoidalnej. Wystarczy wykonywać ruch po okręgu, wyliczać wartości funkcji trygonometrycznych oraz następnie zaznaczać je na układzie współrzędnych. Zaznaczając te punkty na wykresie, a następnie je łącząc otrzymamy jeden okres fali. Odbijając otrzymany okres symetrycznie na kolejnych wartościach osi X otrzymamy całą falę sinusoidalną. A więc czym w zasadzie jest okres?
Na powyższej grafice widzimy zaznaczone w trzech różnych miejscach trzy okresy. Wszystkie co do wartości są sobie równe co oznacza, że ich wykonanie trwa tyle samo. W związku z tym, że okres ten się powtarza tworząc fale możemy powiedzieć, że okresem jest element powtarzający się. Ponadto warto wspomnieć o tym, że o każdej funkcji, w skład której wchodzą okresy mówimy, że jest ona okresową funkcją. Sekwencje powtarzające się w funkcji okresowej są okresami. Przykładowe okresy są pokazane poniżej.

Skoro znasz już jeden sposób na narysowanie wykresu funkcji sinus, mogę wprowadzić Cię w drugi sposób szkicowania takiego wykresu. Oczywiście, zawsze gdy potrzebujesz idealny wykres to możesz użyć Exela czy tez innego komputerowego programu, który zrobi Ci idealny wykres. Jeśli jednak musisz zrobić ten wykres sam, to czytaj dalej ten artykuł.

Druga metoda łączy się z zależności między radianami a stopniami. Pewnie z lekcji fizyki o ruchu po okręgu będziesz kojarzyć, że mamy taki prosty przelicznik stopni na radiany. Jak dobrze wiesz, stopnie określają nam miarę danego kąta. Radiany zatem mówią nam o mierze łukowej kątów.
Ten przelicznik wygląda o tak:
Skąd wzięła się ta zależność? Znając miarę koła, oraz jego obwód możemy przekształcić poniższy wzór, gdzie to obwód koła, a R to promień:
—>360°.
Dzięki tej znajomości możemy obliczyć wartości sinusa dla kątów od 0° do 90°, a więc z przedziału < 0, >. Powyższe wartości obliczyłam w pamięci dzięki zastosowaniu powyższych zaznaczonych zależności. Skoro pi radianów stanowi 180 stopni, to połowę mniej radianów będzie stanowiło również połowę mniej stopni, a więc 90 stopni.

Jak więc wygląda wykres sinusoidy?
Na osi X mamy zapisane wartości miar kątów, a więc od 0° do … . Wszystko zależy jak duży wykres chcemy narysować. Myślę, że do 1080° podziałka na osi X w zupełności nam wystarczy. Skąd wzięła mi się miara 1080 stopni? Ta miara jest wielokrotnością miary kąta koła. A więc w zasadzie pomnożyłam 360 stopni trzykrotnie, otrzymując powyższy wynik.
Zaznaczając na osi Y wartości sinusa dla danego kąta możemy otrzymać jeden z czterech elementów okresu funkcji sinus. Ten element zaznaczyłam czerwonymi kreskami oraz areografem. Gdy będziemy mieli narysowany ten jeden element wystarczy, że symetrycznie „odbijemy tę część na prawo”, a następnie dla kolejnych argumentów odbijemy tę całą „górkę” poniżej osi X, otrzymamy jeden okres fali sinusoidalnej.

Przejdźmy w takim razie do części, w której będziesz mógł zweryfikować swoją wiedzę. Zanim przeczytasz rozwiązanie zadania zachęcam do samodzielnego rozwiązania, a następnie sprawdzenia odpowiedzi.

Zadanie 1

Spójrz na wykres poniżej. Oblicz sin 30 oraz 150 stopni na podstawie wykresu.

Jak widzimy, na wykresie na osi x mamy wartości wyrażone w radiach. Co to oznacza? Oznacza to, że najpierw musimy zamienić te dwie wartości na osi X na stopnie. Mamy wiele metod zamieniania stopni na radiany i na odwrót. Ja najbardziej lubię proporcję, więc tak też to zadanie rozwiąże.
π rad = 180°
x rad = 150°

π rad = 180°
x rad = 30°

Obliczonych wartości szukamy na wykresie, a następnie obczytujemy wartości funkcji sinus z osi Y. Tym samym możemy powiedzieć, że:

Zadanie numer 2
Zamień na radianu kąt 12°

Rozwiązanie

360° –> 2π
12° —> x

Odpowiedź: Kąt o mierze 12 stopni ma radianów.

Zadanie 3
Przedstaw w stopniach kąt o mierze łukowej

Rozwiązanie:

360° —> 2π
x —>

Zadanie 3

Spróbuj obliczyć sin na podstawie wykresu.

Aby rozwiązać takie zadanie należy spojrzeć na to, gdzie znajduje się szukana przez nas wartość. Jak widzimy, w tych samych odległość tyle, że nad osią X znajdują się dwa zaznaczone argumenty, których wartości są jasno podpisane. Stąd możemy zauważyć, że co do wartości będą one takie same. Ale należy zaznaczyć, że wartości te będą różnić się znakiem. Dzieje się tak, ponieważ szukany przez nas sinus znajduje się pod osią X.

Tak więc sin.

Zadanie numer 4
Oblicz sin 150°

Rozwiązanie.
Spróbujmy najpierw narysować układ współrzędnych. Zaznacz w nim okrąg o promieniu 1 oraz kąt o mierze 150 stopni. Zaznacz punkt P, w którym ramie kąta przecina okrąg. Ponadto oznacz pozostała dwa boki literkami a oraz b.

Jak widzisz, współrzędne punktu P to (a, b).
W związku z tym z łatwością wystarczamy szukaną przez nas wartość.
sin 150°=

Kolejno zauważamy, że jesli obijemy symetrycznie punkt P, to możemy otrzymać taki kąt, dla którego wartości trygonometryczne znamy na pamięć. Jeśli jednak ich nie pamiętamy warto zajrzeć do tabeli poniżej.

Dzięki temu otrzymujesz wniosek, że sin 30°=b. Z tego oraz z tabeli powyżej wynika, że sinus 150 oraz 30 stopni jest równy co do swojej wartości.
sin 150° = sin 30° =

Pokazana powyżej metoda jest nazywa algorytmem, który zawsze zaczynamy on narysowania układu współrzędnych. Następnie po narysowaniu okręgu jednostkowym (promień długości 1) i zaznaczeniu kąta alfa, zaznaczamy punkt, w którym okrąg i ramie kąta się przecinają. W pierwszej ćwiartce powinniśmy znaleźć symetryczny punkt do przecięcia się okręgu i ramienia. Co ważne, może być on symetryczny do dowolnej osi np. względem osi pionowej. Dla nowo powstałego kąta obliczamy wartość trygonometryczną. Tutaj możemy często skorzystać z tablic trygonometrycznych. Na sam koniec podajemy wynik, który jest funkcją kąta afla, dzięki zastosowaniu funkcji trygonometrycznej dla kąta beta.

Tę metodę warto zapamiętać, gdyż przydaje się w wielu zadaniach maturalnych.