Sinus 30 stopni

Sinus:
Powyżej jest trójkąt prostokątny. Sinus α. Jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α, czyli „c” do długości przeciwprostokątnej „b”.
sin α =

Cosinus:
Jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie „α”, czyli długości „a” do długości przeciwprostokątnej „b”.
cos α =

Tangens:
Jest to stosunek długości przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta „α”, czyli długości „c”, do długości przyprostokątnej, leżącej przy kącie „α”, czyli długości „a”
tan α =

Cotangens:
Jest to stosunek przyprostokątnej, leżącej obok kąta „α”, czyli długości „a”, do długości przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta „α”, czyli długości „c”.
cot α = .

Tabela trygonometryczna:
Tabela przedstawiona poniżej, zawiera informacje o wartościach funkcji trygonometrycznych dla konkretnych ustalonych kątów, o miarach 0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 180° funkcje trygonometryczne, to takie, jak sinus, cosinus, tangens, cotangens. Tabela trygonometryczna umożliwia nam odczytanie wartości funkcji trygonometrycznej dla wszystkich kątów. Tablice trygonometryczne, przed wynalezieniem kalkulatorów kieszonkowych, były wykorzystywane do nawigacji, nauki oraz inżynierii. Znak „-” w tabeli oznacza, że wartość funkcji trygonometrycznej nie istnieje.

Teraz przejdę do zadań do których potrzebna będzie tabela trygonometryczna.

Zadanie 1 – korzystanie z funkcji trygonometrycznych i twierdzenia Pitagorasa

Na rysunku powyżej znajduje się trójkąt DEF. Odcinek DF jest równy 8. Kąt DEF jest kątem prostym, a kąt EFD ma miarę 30°. Oblicz na dwa sposoby (wyłącznie za pomocą znajomości zależności długości boków w trójkącie charakterystycznym (o kątach 90°, 30° oraz 60°), która wynika z twierdzenia Pitagorasa, oraz za pomocą tabeli trygonometrycznej) kąt EDF i długości pozostałych boków.

Zadanie 2: – korzystanie ze wzoru na pole równoległoboku.
Obwód równoległoboku jest równy 38cm. Jeden z boków tego równoległoboku na długość 12cm. Sinus kąta „α” wynosi 30°. Oblicz Pole równoległoboku.

Zadanie 3: – korzystanie z wzoru na pole równoległoboku.
Przekątne równoległoboku mają długości 6 cm i 8 cm. Kąt przecięcia przekątnych jest równy . Ile wynosi Pole tego równoległoboku?

Zadanie 4:
Ile wynosi kąt α, jeżeli sin α wynosi 0,4999 ?

Odpowiedź 1:
Najpierw obliczę zadanie, korzystając z cech trójkąta 90o, 60o, 30o i z twierdzenia Pitagorasa. Na początku obliczę miarę kąta EDF. Wiem, że suma miar kątów w każdym trójkącie jest równa 180 stopni. Więc, 180°-90°-30°=60°. Kąt EDF jest równy 60°. Teraz obliczę długości innych boków, wykorzystując informację, że Odcinek DF ma długość 8. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że w trójkącie o kątach 90°, 30° oraz 60°, odcinek pomiędzy kątem 60°, a kątem prostym jest równy „a”, odcinek między kątem prostym, a kątem 30° jest równy „a„, a odcinek między kątem 60°, a 30° jest równy „2a”. Więc, jeżeli 2a (odcinek DF) jest równe 8, to a będzie równe 4 (odcinek DE), po prostu podzieliłam wartość 8 na dwa. Kiedy a jest równe 4, to wartość a musi być równa 4 (by uzyskać ten wynik pomnożyłam wartość 4 razy ). Teraz rozwiążę to zadanie drugim sposobem, wykorzystując do tego tabelę trygonometryczną. Jak już obliczyłam wcześniej, kąt EDF będzie równy 60°. Wykorzystam, by obliczyć długości boku funkcję sinus kąta 30°.
sin 30° = =
DE = 8 * (sin 30°)
DE = 8 * = 4
Odcinek DE jest równy 4. Teraz obliczę odcinek EF z funkcji cotangens kąta 30°.
ctg 30° = =
EF = 4 * (ctg 30°)
EF = 4 * =
W obu sposobach odpowiedzi są takie same, co oznacza, że zadanie, zostało wykonane poprawnie.

Odpowiedź 2:
By uprościć rozwiązanie tego zadania, najpierw zobrazuję jego treść.

Wzór, który wykorzystam, by obliczyć pole równoległoboku, to P=e*f*sin α. Załóżmy, że „f” jest równe 12cm. Obliczmy teraz bak „e” wykorzystując do tego informację, że obwód całego równoległoboku jest równy 38cm. Wzór na obwód równoległoboku, to Obw.=2e*2f. W takim razie obliczmy, ile wynoszą razem dwa boki „f”. 12cm*2=24cm Wystarczyło wartość 12cm pomnożyć razy dwa. Następnie trzeba objąć tę wartość (24 cm) od wartości całego pola równoległoboku. 38cm-24cm=14cm. Długość (14 cm) to długości dwóch boków „e”. By obliczyć ile wynosi długość boku „e” musimy wartość 14cm podzielić na dwa. 14cm_2=7cm. Długość „e” jest równa 7 cm. Następnie odczytuje wartość z tabeli trygonometrycznej dla sinus kąta α, równego 30°. Teraz podstawiam wartości do wzoru podanego powyżej. P=12cm*7cm* = 42cm2 Więc, pole równoległoboku jest równe 42cm2.

Odpowiedź 3:
By uprościć rozwiązanie tego zadania, najpierw zobrazuję jego treść.

Wzór na Pole równoległoboku to połowa iloczynu długości przekątnych tego równoległoboku, sinusa kąta „α”. Najpierw musimy się dowiedzieć, ile stopni odpowiada wartości . Wiemy, że π jest równe 180°. Więc będzie sześć razy mniejsze. 180°:6=30°. Możemy odczytać to też z tabeli trygonometrycznej. Wartość funkcji sinus kąta „α” dla 30 stopni wynosi . Więc, Otrzymane wartości, wystarczy podstawić do wzoru na pole równoległoboku. P=8cm * 6cm * * = *48cm2=12cm2 Pole równoległoboku wynosi 12 cm2.

Odpowiedź 4:
By wiedzieć, ile wynosi sinus kąta α, musimy skorzystać z tabeli trygonometrycznej podanej w innym, sprawdzonym źródle, na przykład wiarygodnej stronie internetowej. Po prostu odczytujemy wartość z tamtej tabeli. A fragment takiej tabelki przedstawię poniżej. Najpierw znajdujemy kolumnę o nazwie „Sin α”, a następnie odnajdujemy wartość przybliżoną do wartości 0,4999, jest to wartość w tym przypadku 0,5. Teraz w tym samym wierszu w kolumnie „α” odczytujemy wartość 30°. Wartość 0,5 była przybliżona do wartości 0,4999, więc w odpowiedzi nie możemy napisać że jest to po prostu 30°, musimy zapisać, że jest to wartość przybliżona do 30°.