Sinus alfa

Sinus kąta ostrego jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Maksymalna wartość funkcji sinus to 1, a minimalna -1, dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie (od 0 do 1). Wartość tej funkcji zawsze należy do zbioru liczb rzeczywistych (Jeśli wszystkie boki trójkąta mają długość wrażoną liczbą całkowitą to sinus jest liczbą wymierną).

boki a i b = przyprostokątne trójkąta prostokątnego
bok c = przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego

Dla oznaczeń pokazanych na powyższym rysunku sin =

Przykład: Oblicz wartość funkcji sinus kąta w poniższym trójkącie:

Najpierw należy obliczyć długość przeciwprostokątnej przy pomocy twierdzenia Pitagorasa:
c2 = 32 + 42
c2 = 9 + 16
c2 = 25
c = √25
c = 5

sin =
sin = 0,6

Odpowiedź: Sinus kąta w tym trójkącie ma wartość 0,6.

Przykład: Przyprostokątne trójkąta mają długości 4 i 7. Najmniejszy jego kąt oznaczony jest jako , ile wynosi sinus tego kąta?
c2 = 42 + 72
c2 = 16 + 49
c2 = 65
c = √65
Najmniejszy będzie kąt pomiędzy dwoma najdłuższymi bokami o długości 7 i √65.
sin =
sin =
sin =

Odpowiedź: Sinus kąta w tym trójkącie ma wartość .

Dla określonych miar kątów funkcja sinus zawsze przyjmuje jednakowe wartości, na przykład:

sin 0° = 0
sin 5° 0,0872
sin 10° 0,1736
sin 15° = (√6 – √2)/4 0,2588
sin 18° = (√5 – 1)/4 0,309
sin 20° 0,342
sin 25° 0,4226
sin 30° = a/2a = 1/2 = 0,5
sin 40° 0,6428
sin 45° = a/a√2 = 1/√2 = 1/√2 √2/√2 = √2/2 0,7071
sin 50° 0,766
sin 55° 0,8192
sin 60° = a√3/2a = √3/2 0,866
sin 65° 0,9063
sin 70° 0,9397
sin 75° = (√6 + √2)/2 0,9659
sin 80° 0,9848
sin 85° 0,9962
sin 90 = 1
sin 180° = 0
sin 270° = -1
sin 360° = 0

Przydatne wzory (wzory redukcyjne):
sin (180° + ) = -sin
Przykład: sin (180° + 30°) = sin 210° = -sin 30° = -0,5

sin (180° – ) = sin
Przykład: sin (180° – 30°) = sin 150° = sin 30° = 0.5

sin (360° – ) = -sin
Przykład: sin (360° – 30°) = sin 330° = -sin 30° = -0,5