Sinusoida

Tematem dzisiejszego troche dłuższego opracowania będzie sinusoida. Czy kojarzy ci się z czymś ta nazwa? Jeśli jesteś już w liceum bądź technikum, to powinnaś /powinieneś kojarzyć tą nazwę z funkcją trygonometryczną. Jeśli nie wiesz czym są funkcje trygonometryczne zachęcam do przeczytania poniższego krótkiego opracowania o tychże funkcjach. Natomiast jeśli znasz funkcje trygonometryczne w ramach powtórki przeczytaj poniższe przypomnienie.

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym.

Na początek spójrzmy na trójkąt prostokątny poniżej. Zaznaczony jest w nim kąt . Boki a i b to przyprostokątne, a bok c to nic innego jak przeciwprostokątna trójkąta. Warto zaznaczyć, że bok a jest przyprostokątną naprzeciw kąta , a bok b jest przyprostokątną przy kącie .

Definicje funkcji trygonometrycznych przedstawione są poniżej:

Jeśli masz problem z zapamiętywaniem tych własności trygonometrycznych warto zapamiętać sobie, że wszystko co ma przedrostek zaczynający się na literę c, a więc cosinus i cotangens, swoją własność zaczyna od przyprostokątnej przy kącie, czyli bok b. Ponadto, warto wspomnieć, że tangens jest odwrotnością cotangensa. Podsumowując, aby obliczyć sinus danego kąta w trójkącie prostokątnym, najpierw patrzymy na bok naprzeciw kąta, a później na przeciwprostokątną. Tym samym otrzymujemy zależność taką jak powyżej we wzorach.

Kolejne ważne zależności, których wzory napisałam powyżej przedstawiają kolejne grafiki.

Powyższa grafika przedstawia graficzny sposób obliczania cosinusa kąta alfa. Najpierw długość boku b (przyprostokątna przy kącie) dzielimy przez długość boku c, a więc przez przeciwprostokątną trójkąta.

Tangens kąta alfa to nic innego jak zależność związana z przyprostokątnymi trójkąta. Długość przyprostokątnej naprzeciw kąta dzielimy przez długość przyprostokątnej przy kącie. Otrzymany wynik stanowi tangens danego kąta. Warto pamiętać, że naukowe kalkulatory również pozwalają nam obliczać wartości funkcji trygonometrycznych bez konieczności zaglądania w tablice np. maturalne.

Ostatnią ważną funkcją trygonometryczną jest cotangens, a więc odwrotność tangensa. Obliczanie wartości cotangensa dla danego kąta ostrego polega na podzieleniu długości przyprostokątnej przy kącie przez przyprostokątną naprzeciw kąta. Innymi słowy dzielimy bok b przez bok a.

Znając te zależności możemy rozwiązać kilka zadań.

Ćwiczenie
Drabinę długości 5m oparto o ścianę budynku w taki sposób, że dotykała jej na wysokości 4,8m. Jaki kąt utworzyła drabina z ziemią?

Aby rozwiązać takie zadanie najlepiej rozpocząć od narysowania rysunku.

Na początku oznaczamy szukany przez nas kąt, zaznaczamy kąt prosty oraz podpisujemy długości boków. Jak widzimy, aby obliczyć kąt alfa wystarczy znaleźć taką funkcję trygonometryczną, do której obliczenia mamy dane. My mamy podaną przeciwprostokątną długości 5m –> bok c. Ponadto mamy podaną przyprostokątną naprzeciw kąta długości 4,8 metra, a więc bok a. Skoro widzimy, że mamy boki a i c, możemy wyliczyć sinus kąta alfa. Tak więc przechodzimy do obliczeń:

Po otrzymaniu tego wyniku wystarczy otworzyć tablice, bądź też maturalne karty ze wzorami i odszukać w kolumnie oznaczonej wartości wyliczonej powyżej. Następnie należy odczytać, dla jakiej miary kąta sinus przyjmuje wyżej obliczoną wartość. Znaleziony przez nas kąt to nic innego jak rozwiązanie zadania.

Z tabeli odczytujemy: °.

Odpowiedź: Drabina tworzy z ziemią kąt 74°.

Gdy już wiemy jak rozwiązywać zadania z funkcjami trygonometrycznymi warto wspomnieć o nazewnictwie tych funkcji.
Przejdźmy jednak do najważniejszej części tego opracowania. Same nazewnictwo tych wszystkich funkcji pochodzi z języka łacińskiego. Mimo to, warto wiedzieć, że matematyk o imieniu Jan Śniadecki pod koniec XVIII wieku próbował wprowadzić w obieg polskie nazwy tych funkcji oraz spolszczone proponowane przez niego skróty. Poniżej przedstawiam, jak według tego matematyka wyglądałyby polskie odpowiedniki:
Sinus – wstawa (wst)
Cosinus – dostawa (dost)
Tangens – styczna (sty)
Cotangens – dostyczna (dosty)
Przejdźmy teraz do rozważań na temat sinusoidy. Inaczej jest też ona nazywana falą sinusoidalną. Jej ogólny wzór przedstawia się następująco:

We wzorze funkcji czasu A to nic innego jak amplituda (czyli największe wychylenie z położenia równowagi w ruchu drgającym), to przesunięcie fazowe, a to pulsacja, która wyrażona jest w radianach na sekundę. Na wstępie rozważań o sinusoidzie warto powiedzieć o zastosowaniach sinusoidy w życiu codziennym. Tę falę możemy spotkać nie tylko w matematyce, lecz także w muzyce, fizyce, elektrotechnice i w wielu innych dziedzinach. Wyżej wspomniane wzory głównie kojarzą nam się z suchymi i powtarzającymi się zadaniami. Sinusoida jednak jest inna. Dzięki niej wiele rzeczy w życiu jest możliwych. Fale sinusoidalne otaczają nas cały czas, nawet mimo tego, że niekoniecznie wiemy o tym, że one istnieją. Zasady działania oraz jej założenia pozwalają na funkcjonowanie wielu dziedzin życia i nauki, takich jak elektrotechnika, kartografia czy też astronomia. Przykładowo obecność sinusoid możemy dostrzec w gniazdkach elektrycznych, które znajdują się w naszych domach. Natężenie prądu, który w nich płynie posiada swój charakterystyczny kształt, który jest sinusoidą. Ale jak tak właściwie wygląda sinusoida? Odpowiedź na te pytanie znajdziesz na grafice załączonej poniżej.

Powyższa grafika nie jest mojego autorstwa – na stronie teoriaelektryki.pl znajduje się dużo ilustracji przedstawiających sinusoidę.

Czym jest sinusoida?

Odpowiedź na te pytanie jest bardzo prosta. Sinusoidę stanowi wykres funkcji sinus. Oznacza to nic innego jak połączenie zbioru punktów, które razem tworzą „falę”, a w zasadzie można powiedzieć, że wykres przypomina kształtem płynącą falę. Poniższa ilustracja przedstawia wykres funkcji

Tworzenie funkcji sinus jest połączone bezpośrednio z ruchem po okręgu. A co właściwie przedstawia wykres tej funkcji? Spójrzmy na grafikę poniżej. Po narysowaniu okręgu i wyznaczeniu jego środka, powinniśmy mieć narysowane dwie proste przecinające się pod kątem 90°. Prowadząc promień okręgu do każdego punktu na okręgu możemy za każdym razem tworzyć trójkąt. Obliczając za każdym razem sin kąta między promieniem a prostą.

Jak widzimy, proste przecinające się pod kątem prostym dzielą nasz okrąg na 4 ćwiartki. Te dwie górne będą oznaczały ruch po okręgu przy kącie od 0° do 180°. Oznacza to, że sinus tych kątów będzie wyrażony wartościami dodatnimi. Mówiąc zaś o 3 i 4 ćwiartce, będziemy otrzymywać wartości ujemne sinusów. Podsumowując więc, zaznaczając wartości sinusów na wykresie będziemy zaczynać od zera, następnie wartości będą rosnąć, maleć, przechodząc przez oś X dalej malec i później wartości znów będą rosnąć. Efektem tego jest wykres w postaci fali.

Innym sposobem narysowania wykresu sinusoidy jest wyliczenie lub odnalezienie wartości sinus dla kątów ostrych z przedziału < 0; >. Widząc π możesz się pewnie zastanawiać, skąd nam się ta wartość wzięła. Wynika to z połączenia radianów i stopni. Jak wiemy koło ma 360°. Radian zaś to miara łukowa kąta. Korzystając ze wzoru na obwód koła, a następnie dzieląc go przez promień możemy otrzymać następujący wynik, mówiący nam o tym, ile stopni odpowiada ilu radianom:
—> 360°.

Wróćmy jednak do wyżej napisanego przedziału. Mamy tam napisane, że interesują nas miary kątów z przedziału do . Skoro więc wiemy, że 2π to 360 stopni, bez problemu możemy określić, że interesuje nas przedział miar kątów od 0 do 90°. Po zaznaczeniu tych miar kątów na osi X i wartości sinusa dla danego kąta na osi Y, możemy otrzymać wykres sinusoidy. Tą sekwencję możemy naszkicować kolejny raz otrzymując kolejne części wykresu. Następnie możemy zauważyć, że ona się powtarza –> o takiej funkcji mówimy, że jest ona funkcją okresową. Element, który się powtarza to okres.

Pod koniec warto sobie jeszcze powiedzieć o częstotliwości i amplitudzie wykresu fali sinusoidalnej. Zagadnienie te możesz kojarzysz z przedmiotu szkolnego zwanego fizyką. Już wiesz, że wykres ten jest bardzo blisko połączony z ruchem po okręgu. Jeśli zajmujemy się w fizyce ruchem po okręgu, to prędkość stanowi prędkość kątowa, która wyrażana jest w radianach na sekundę.

W związku z tym, możemy zauważyć prostą zależność związaną z częstotliwością. Częstotliwość to nic innego jak ilość obrotów (pełnych okrążeń) wykonanych w ciągu jednej sekundy. W związku z tym, że przy sinusoidzie jedno okrążenie = jeden okres, możemy powiedzieć, że częstotliwość to ilość okresów podzielona przez jedną sekundę. Jednostką częstotliwości jest herc [Hz=].

Po analizie powyższej ilustracji możemy zauważyć, że wraz ze wzrostem częstotliwości rośnie zagęszczenie „fal”. Rośnie ilość okresów wykonywanych w ciągu jednej sekundy.

Czas powiedzieć sobie coś o amplitudzie sinusoidy. Amplituda to nic innego jak maksymalne wychylenie z położenia równowagi. Wzrost amplitudy będzie wiązać się z rozciągnięciem wzdłuż osi Y wykresu. Tym samym wzrost długości promienia okręgu będzie wiązać się ze wzrostem amplitudy. Poniższa grafika przedstawia porównanie amplitud dwóch wykresów.

Mam nadzieję, że dzięki tej dużej porcji teorii możemy przejść do zadań.

Zadanie numer 1
Oblicz sin 150° na podstawie wykresu.

Na początku należy zamienić stopnie na radiany. Ja preferuję stosowanie proporcji:

rad = 180 °
x rad = 150 °

Obliczony argument zaznaczamy na wykresie i odnajdujemy szukaną przez nas wartość. W naszym przypadku jest to:

Odpowiedź: sin 150° to

Zadanie numer 2
Wyznacz, w zależności od całkowitych wartości parametru a>0, liczbę różnych rozwiązań równania sin(πax)=1 w przedziale < 0; >.

, gdzie k

Po połączeniu tych wszystkich warunków (możemy do tego narysować sobie oś X i narysować rozwiązania nierówności) otrzymujemy wynik, że:

Dla każdego a > 0 następuje jedno rozwiązanie

Mam nadzieję, że dzięki temu opracowaniu twoja wiedza na temat sinusoidy bardzo się powiększyła. Grafiki użyte w tym wypracowaniu to ilustracje z prawami autorskimi. Pochodzą one z grafik Google. Liczę na to, że te wypracowanie spodobało ci się.