Sprowadzanie do wspólnego mianownika

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika jest niezbędne w dodawaniu i odejmowaniu ułamków. Jest też potrzebne przy porównywaniu ułamków.

Najprostszym sposobem na sprowadzenie dwóch ułamków do wspólnego mianownika jest pomnożenie zarówno licznika jak i mianownika jednego ułamka przez wartość mianownika drugiego, to samo robimy z drugim ułamkiem. Czyli ogólny wzór na sprowadzanie dwóch ułamków do wspólnego mianownika to: gdzie a to licznik jednego ułamka, b jego mianownik, natomiast y jest mianownikiem drugiego ułamka, z którym chcemy znaleźć wspólną wielokrotność.

Spróbujmy wykonać to z ułamkami i .

Mnożymy licznik i mianownik jednego ułamka przez wartość mianownika drugiego
Gotowe 🙂

Jednak ta metoda ma pewną wadę, ponieważ jeśli działamy na ułamkach o większych mianownikach np. 48 i 32, to będziemy niepotrzebnie wykonywać działania na dużych liczbach. A pamiętajmy, im większa liczba, tym większa szansa na pomyłkę. W tym przypadku, nie ma potrzeby wykonywania takich działań:

Prościej po prostu znaleźć NWW (najmniejszą wspólną wielokrotność) obu liczb znajdujących się w mianowniku i podzielić ją przez wartość mianownika, a następnie przemnożyć licznik i mianownik przez otrzymany wynik, z drugim ułamkiem robimy tak samo. Wzór na ten sposób sprowadzania do wspólnego mianownika to: , gdzie a jest licznikiem ułamka, b jest mianownikiem. y natomiast jest mianownikiem drugiego ułamka.

Spróbujmy wykorzystać ten sposób w praktyce sprowadzając do wspólnego mianownika ułamki i .

Najpierw musimy znaleźć NWW mianowników 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 i 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2, więc NWW(48, 32) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 96
Stosując powyższą metodę widzimy, że
Tak samo postępujemy z drugim ułamkiem
Gotowe.

Otrzymaliśmy ten sam rezultat, co powyżej wykonując mniej obliczeń.

Pokażę teraz podobny, lecz krótszy sposób na sprowadzenie takich liczb do wspólnego mianownika. Najpierw należy obie wartości mianowników rozłożyć na czynniki pierwsze, następnie skreślić powtarzające się w obu rozkładach liczby i pomnożyć licznik jednego ułamka przez liczbę bądź liczby, które nie zostały skreślone z rozkładu drugiego ułamka.

Spróbujmy wykonać to na przykładzie ułamków z zadania powyżej, czyli i .

Wykonujemy rozkład na czynniki pierwsze: 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 i 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
Następnie skreślamy liczby powtarzające się w obu sekwencjach. 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
Następnie należy przemnożyć licznik i mianownik pierwszego ułamka przez liczby które zostały w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika drugiego ułamka. Tzn.

i

Jak widać wynik jest taki sam jak w przykładzie powyżej, jednak jest dużo mniej liczenia, a co za tym idzie, mniejsze prawdopodobieństwo pomyłki.