Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna po prostu określa jaka jest średnia wszystkich danych. Prościej mówiąc – jeśli mamy kilka danych i chcemy, żeby wyszedł nam z nich jeden wynik to liczymy średnią arytmetyczną, która jak gdyby uśredni wszystkie dane do jednej liczby.
Żeby obliczyć średnią arytmetyczna należy po prostu dodać do siebie wszystkie dane i podzielić je przez ich liczbę (czyli jeśli mamy na przykład trzy liczby to dzielimy ich sumę przez trzy).

Przykład 1
Gdy mamy liczby 3, 9, 4, 6 i chcemy obliczyć ich średnią arytmetyczną to należy ja na początku do siebie dodać:
3 + 9 + 4 + 6 = 22
Suma tych wszystkich liczb to 22, teraz należy ją podzielić na 4. Dlaczego na 4? Dlatego, że wszystkich liczb, które dodawaliśmy (danych) było 4.
22 4 = 5,5
Średnia arytmetyczna tych liczb to 5,5.

Przykład 2
Jeżeli chcemy obliczyć średnią arytmetyczną liczb: 24, 29, 34, 35, 23, 45 to należy zrobić to samo, czyli dodać te liczby do siebie i podzielić przez ich ilość, czyli w tym przypadku przez 6:
24 + 29 + 34 + 37 +23 + 45 = 192
192 6 = 32
Średnia arytmetyczna tych liczb to 32.

Jeżeli nasze liczby, z których chcemy obliczyć średnią arytmetyczną mają jakąś cyfrę po przecinku to robimy tak samo:

Przykład 1
Średnia arytmetyczna liczb 2,6 , 3,4 , 4,1 , 1,7 , 5,2 to 3,4 , ponieważ po dodaniu tych wszystkich liczb do siebie i podzieleniu na pięć otrzymamy taki wynik:
2,6 + 3,4 + 4,1 + 1,7 + 5,2 = 17
17 5 = 3,4

Przykład 2
Oblicz średnią arytmetyczną liczb: 2,4 , 4,9 , 1,4
Po dodaniu tych liczb do siebie i podzieleniu na trzy wyjdzie nam 2,9:
2,4 + 4,9 + 1,4 = 8,7
8,7 3 = 2,9

Zadania
W związku z tym, że posiadamy już wiedzę związaną ze średnią arytmetyczną, możemy rozwiązywać zadania.

Zadanie 1
Pani zmierzyła wzrost dzieci z pewnej klasy. Było ich sześciu. Oblicz średnią arytmetyczną wzrostu tych dzieci, poniżej przedstawiono ich wzrost. Wynik podaj w centymetrach oraz w metrach
1 uczeń – 154 cm
2 uczeń – 149 cm
3 uczeń – 152 cm
4 uczeń – 156 cm
5 uczeń – 157 cm
6 uczeń – 144 cm

Żeby obliczyć średnią arytmetyczną wzrostu tych dzieci należy na początku dodać te liczby do siebie.

154 + 149 + 152 + 156 + 157 + 144 = 912 (cm)

Jak widzimy powyżej, aby zaoszczędzić sobie czasu nie musieliśmy po każdej liczbie pisać, że są to centymetry. Wystarczyło aby napisać na końcu w wyniku, abyśmy nie zapomnieli, że centymetry są jednostką, w której obliczamy. „Centymetry” zostały jednak napisane w nawiasie, ponieważ błędem byłoby napisanie ich normalnie, ponieważ nigdzie wcześniej nie było o nich wzmianki.

Teraz należy wynik podzielić na sześć, ponieważ mamy sześć różnych wartości.

912 cm 6 = 152 cm

Wiemy już, że średnia arytmetyczna wzrostu osób z tej klasy wynosi 152 centymetry. W poleceniu mamy napisane, żebyśmy podali ten wynik w metrach. Nie musimy jednak liczyć od początku wszystkiego, wystarczy tylko zamienić 152 centymetry na metry.
152 cm = 1,52 m
Sto pięćdziesiąt dwa centymetry to metr i pięćdziesiąt dwie setne metra.
Skoro mamy podany już wynik w dwóch miarach to możemy napisać odpowiedź.

Odpowiedź: Dzieci, które zostały zmierzone w tej klasie miały średnio 152 centymetry, czyli 1,52 metra wzrostu.

Ważne jest aby pamiętać, że średnia arytmetyczna jest potocznie również nazywana czasami po prostu średnią. Gdy spotkamy się więc, że ktoś użyje sformułowania średnio, to tak jak gdyby powiedział średnia arytmetyczna wynosi.

Zadanie 2
W pewnej rodzinie była czwórka dzieci. Były one w różnym wieku. Poniżej podano ich wiek. Oblicz średni wiek dzieci w tej rodzinie, poniżej przedstawiono ile ma lat każde z dzieci.

Paweł – 17 lat
Kasia – 15 lat
Tomek – 11 lat
Oliwia – 5 lat

17 + 15 + 11 + 5 = 48
Suma wieku wszystkich dzieci razem wynosi 48. Teraz należy podzielić ten wynik na cztery.

48 4 = 12

12 to nasz wynik końcowy, jest to średnia arytmetyczna.

Odpowiedź: Średnia (arytmetyczna) wieku tych dzieci wynosi 12.

Zadanie 3
Poniżej została przedstawiona ilość kieszonkowych, które dostają poszczególne dzieci. Na tej podstawie odpowiedz na pytania.

Ola – 45 zł
Ewelina – 49 zł
Staś – 67 zł
Krzysiek – 38 zł
Lena – 44 zł
Jasiu – 84 zł
Andrzej – 32 zł
Oskar – 34 zł

a) Oblicz średnią arytmetyczną kieszonkowych tych dzieci.

45 zł + 49 zł + 67 zł + 38 zł + 44 zł + 84 zł + 32 zł + 34 zł = 393 zł

Po dodaniu wszystkich kwot do siebie otrzymujemy wynik. Teraz musimy podzielić go na 8, ponieważ tyle jest dzieci.

393 zł 8 = 49,125

49, 125 to średnia arytmetyczna kieszonkowych, zaokrąglamy wynik do 2 cyfry po przecinku =49,13zł które dostają te dzieci. Otrzymaliśmy wynik, czyli zrobiliśmy to zadanie.

Odpowiedź: Średnio dzieci dostają 49,13 złoty.

b) Oblicz, kto więcej dostaje kieszonkowego: Krzysiek i Staś, czy Oskar i Jasiu.

Zadanie to można zrobić na dwa sposoby. Pierwszy z nich to dodanie do siebie na początku kwot dwóch pierwszych dzieci, a potem dwóch pozostałych dzieci:
Krzysiek i Staś – 38 zł + 67 zł = 105 zł
Oskar i Jasiu – 34 zł + 84 zł = 118 zł

Ten sposób jest łatwiejszy. Dzięki niemu można bardzo szybko wywnioskować, że to Oskar i Jasiu dostają więcej kieszonkowego. Można również policzyć o ile maja go więcej, lecz w tym zadaniu nie jest to potrzebne.

Odpowiedź: Oskar i Jasiu dostają więcej kieszonkowego, ponieważ dostają go 118 zł, a Krzyś i Staś dostają go tylko 105.

Zauważ jednak, że można to rozwiązać jeszcze innym sposobem. Umiemy już obliczać średnią arytmetyczna, w związku z tym czemu nie możemy użyć jej i teraz? Możemy! Najpierw obliczmy średnią Krzysia i Stasia, a potem Oskara i Jasia. Potem porównajmy, która z nich jest większa.

Średnia kieszonkowych Krzysia i Stasia – 38 zł + 67 zł = 105 zł 105 zł : 2 – 52,5 zł
Średnia kieszonkowych Oskara i Jasia – 34 zł + 84 zł = 118 zł 118 zł : 2 = 59 zł

Z tego również wynika, że to Oskar i Jaś dostają więcej kieszonkowego, ponieważ ich średnia wynosi więcej.

Odpowiedź: Oskar i Jasiu otrzymują więcej kieszonkowego niż Krzyś i Staś, ponieważ mają oni większą średnią.

c) Oblicz, która z płci, chłopcy czy dziewczyny otrzymują średnio więcej kieszonkowego.

Żeby zrobić to zadanie na początku trzeba wypisać dane, abyśmy wiedzieli kto otrzymuje ile:

Ola – 45 zł
Ewelina – 49 zł
Staś – 67 zł
Krzysiek – 38 zł
Lena – 44 zł
Jasiu – 84 zł
Andrzej – 32 zł
Oskar – 34 zł

Teraz napisać sumę kieszonkowych dla chłopców i dziewczynek.
Dziewczyny – 44 zł + 49 zł + 45 zł = 137 zł
Chłopcy – 67 zł + 38 zł + 84 zł + 32 zł + 34 zł = 255 zł

Nie wystarczy jednak taki zapis, ponieważ stwierdza on tylko, że suma kieszonkowego chłopców jest większa od sumy kieszonkowego dziewczyn, a to nam nie wystarczy, ponieważ chłopców jest więcej. Trzeba więc podzielić obie sumy przez ilość dziewczynek (w pierwszej sumie) lub chłopców (w drugiej sumie).

Średnia kieszonkowego dziewczyn – 137 zł : 3 46 zł
Średnia kieszonkowego chłopców – 255 zł : 5 = 51 zł

Z naszych działań wynika, że to chłopcy dostają więcej kieszonkowego (ponieważ ich średnia jest większa).

Zadanie 4
Martyna i Kasia poszły z babcią i dziadkiem zbierać grzyby. Nigdy tego nie robiły więc nie szło im najlepiej. Martyna zebrała 5 grzybów, a Kasia 7, natomiast babcia i dziadek zebrali po 25 grzybów. Oblicz ile średnio grzybów uzbierały dziewczynki, a ile babcia i dziadek

Do wykonania tego zadania na początku trzeba wyliczyć średnią Martyny i Kasi. Nie będziemy obliczać średniej babci i dziadka, ponieważ obaj nazbierali 25 grzybów, więc ich średnia to również 25

Średnia grzybów Martyny i Kasi – 5 + 7 = 12 12 : 2 = 6
Średnia grzybów babci i dziadka – 25

Obliczyliśmy już średnią dziewczynek, więc zadanie jest wykonane.

Odpowiedź: Martyna i Kasia uzbierały średnio 6 grzybów, a babcia i dziadek 25.

Zadanie 5
Uczniowie klas 3 mają 4 lekcje dziennie. Uczniowie klas 6 po 6 lekcji dziennie. Natomiast uczniowie klas 8 mają 7 lekcji dziennie.
Oblicz ile średnio dziennie mają lekcji uczniowie tych klas.

4 + 6 + 7 = 17
17 : 3 5,6

Odpowiedź: Uczniowie tych klas mają średnio 5,6 lekcji, czyli prawie 6.

Do czego przydaje się obliczanie średnich
Obliczanie średniej nie przydaje się tylko w sytuacjach takich jak te przedstawione powyżej. W życiu codziennym oprócz do uśredniania wyników dla danej grupy osób używa się tej znajomości najczęściej do obliczania swojej średniej z ocen. Jeżeli chcemy na przykład sprawdzić, czy nasze oceny dadzą nam zakończenie klasy z wyróżnieniem to również liczymy ich średnią arytmetyczną. Jeżeli ktoś więc chce obliczyć swoją średnią na koniec roku to dodaje oceny ze wszystkich przedmiotów, których się uczy, a potem dzieli tę sumę na ilość tych przedmiotów.
Do liczenia ocen przydaje się również znajomość obliczania tzw. średniej ważonej. Przydaje się ona, ponieważ bardzo często w szkole jest tak, że nasze oceny mają różne wagi, czyli są różnie ważne. Jedna wartość, czyli w tym przypadku ocena może mieć na przykład wagę trzy. Oznacza to, że jest trzy razy bardziej ważna od innych ocen. Jeśli jest taka sytuacja to wystarczy pomnożyć tę wartość przez jej wagę, a dopiero potem dodać do wszystkich innych liczb. Jeżeli kilka wartości ma większą wagę niż jeden (czyli tę zwykłą wagę, jeśli coś ma wagę jeden to jest to wartość normalna, liczy się normalnie) to robimy tak samo, czyli mnożymy wartości przez wagę tych kilku wartości i potem dodajemy je do innych.

Przykład 1 – średnia ocen
Marek miał z jednego przedmiotu czwórkę, a z dwóch przedmiotów piątkę na koniec roku. Pomóż mu obliczyć średnią tych ocen.
4 + 5 + 5 = 14
14 : 3 = 4,(6)
Jak widzimy w tym przypadku średnią ocen liczymy tak samo jak gdyby liczyło się normalnie, ponieważ oceny te nie mają żadnych wag.
Odpowiedź: Średnia ocen, które dostał Marek tego dnia to 4,(6).

Zapis „4,(6)” oznacza to samo co 4,66666… , czyli oznacza, że szóstek po przecinku jest nieskończoność.

Przykład 2 – średnia ocen, które mają wagę
Antek dostał w szkolę piątkę z plastyki, która nie miała żadnej wagi (czyli można by było powiedzieć, że ma wagę jeden), a potem jeszcze dostał dwie trójki, jedna nie miała wagi, a druga miała wagę trzy. Oblicz średnią tych ocen uwzględniając ich wagi.

Jak widzimy teraz zadanie nie jest już takie proste, ponieważ muszą zostać uwzględnione wagi. Najłatwiej zacząć od trójki, która miała wagę trzy.
3 3 = 9
Trójkę którą dostał Marek pomnożyliśmy razy trzy, dzięki czemu otrzymaliśmy sumę wywodzącą się z tej oceny. Teraz dodaje dziewiątki musimy dodać jeszcze pozostałe oceny. Dodaje się je normalnie, ponieważ nie mają one żadnych wag.

9 + 3 + 5 = 17

Skoro otrzymaliśmy już sumę to teraz należy ją podzielić, ponieważ chcemy otrzymać średnią.

17 : 5 = 3,4

Średnia tych ocen wynosi 3,4. Jednak dlaczego 17 zostało podzielone na pięć? Dlatego, że jedna z trójek Marka miała wagę trzy, czyli była ważna jak trzy oceny. Oprócz tej trójki zostały jeszcze dwie oceny, które miały zwykłe wagi. Wiemy więc, że trzeba podzielić na pięć, ponieważ były tam dwie oceny zwykłej wagi i jedna wagi trzy (3 + 1 + 1 = 5).

Średnia arytmetyczna – 3,4

Otrzymaliśmy już wynik, ponieważ zrobiliśmy już wszystko.

Odpowiedź: Średnia ocen Marka z tego dnia wynosiła 3,4.

Zadanie 1
Gabrysia przeczytała swoje świadectwo, które otrzymała na koniec roku. Było na niej dziewięć ocen, które zostały przedstawione poniżej. Na podstawie tych danych odpowiedz na pytania.

W-f – 5
Przyroda – 3
Matematyka – 4
J. Polski – 4
J. Angielski – 4
Historia – 5
Informatyka – 6
Technika – 5
Muzyka – 6

a) Jaka była średnia tych ocen?

5 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 5 + 6 = 42
42 : 9 4,7

Odpowiedź: Średnia tych ocen wynosiła 4,7.

b) Oblicz średnią arytmetyczną ocen Gabrysi nie licząc języków.

Polski i Angielski są językami, więc to ich nie będziemy uwzględniać. Dodajmy więc sumę ocen i policzmy ich średnią nie zwracając uwagi na te dwa przedmioty.

5 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 6 = 34
34 : 7 4,9

Odpowiedź: Średnia arytmetyczna ocen ze świadectwa Gabrysi nie biorąc pod uwagę języków wynosi 4,9.

Zadanie 2
Karolina zastanawiała się jaka jej wyjdzie ocena z Polskiego. Aby to wiedzieć musiała znać swoją średnią, lecz nie potrafiła jej obliczyć. Pomóż jej to zrobić na podstawie poniższych danych. Uwzględnij to, że niektóre oceny mają inną wagę.

Oceny Karoliny z j. Polskiego – 4, 5 wagi trzy, 2 wagi dwa, 1, 6, 3 wagi sześć, 4

Należy najpierw obliczyć te oceny, które mają inną wagę niż jeden:
5 3 = 15
2 2 = 4
3 6 = 18

Te oceny to oceny, które mają inne wagi. Skoro je już policzyliśmy to czas obliczyć sumę pozostałych ocen, a następnie dodać do nich oceny o nie typowej wadzę (biorąc pod uwagę to co przed chwilą obliczyliśmy).

4 + 1 + 6 + 4 = 15
Teraz dodajemy pozostałe wartości:
15 + 15 + 4 + 18 = 52
Teraz dzielimy to na ilość ocen. Nie jest ich jednak siedem, tylko 15, ponieważ wliczają się wagi (jeśli na przykład ocena ma wagę dwa to dzielimy na dwa, a nie na jeden).
52 : 15 3,5
3,5 to właśnie średnia ocen, które otrzymała Karolina z języka polskiego. Ma ona więc taką średnią.

Odpowiedź: Karolina ma z języka polskiego średnią ocen 3,5 , w związku z tym może spodziewać się trójki lub czwórki na koniec tego roku.