Średnia geometryczna

Średnia geometryczna

Średnia w matematyce statystycznej to sposób, dzięki któremu możemy z n wyników uzyskanych na przykład podczas jakiegoś doświadczenia wyliczyć jedną wartość. Wyróżniamy wiele rodzajów średnich, ale najbardziej znanymi są średnia arytmetyczna, średnia ważona, średnia harmoniczna, średnia kwadratowa i oczywiście średnia geometryczna, którą dokładnie i bardzo dogłębnie tutaj omówimy. Zaczniemy od wzoru, z którego się korzysta podczas liczenia średniej geometrycznej, a wygląda on w następujący sposób:

gdzie Sg oznacza średnią geometryczną (można też ją oznaczać jako x z kreską nad nim) i jest ona równa pierwiastkowi n-tego stopnia z iloczynu wszystkich wartości.

Średnią geometryczną dwóch liczb dodatnich a i b, nazywamy taką liczbę dodatnią c, że:

zatem:
a więc: warto to pamiętać, bo może się ta wiedza przydać w niektórych zadaniach

Jeśli chcielibyśmy geometrycznie opisać średnią geometryczną, to możemy to zrobić w następujący sposób:
Średnia geometryczna jest równa długości boku kwadratu, którego pole jest równe polu prostokąta o bokach o długości a i b. Poniższy rysunek przedstawią tę sytuację:

Jeśli obliczmy średnią geometryczną z dużej ilości liczb, może być trochę trudne liczenie pierwiastków tak wysokiego stopnia, dlatego możemy skorzystać z postaci zlogarytmowanej tej średniej. Jeśli liczby a, b, c są dodatnie oraz to możemy wywnioskować, że:

a następnie korzystając z własności logarytmu potęgi i logarytmu iloczynu, możemy przekształcić ten wzór w następujący sposób:

Warto zauważyć też, że liczby , i tworzą ciąg arytmetyczny.

Bardzo przydatną rzeczą jest też pamiętanie zależności między średnimi, które są zwane jako nierówności Cauchy’ego między średnimi, dzięki nim możemy być pewni, że nie zrobiliśmy gdzieś błędu licząc z tych samych liczb różne rodzaje średnich. A wygląda to w następujący sposób:

Ale gdzie się tak w ogóle wykorzystuje średnią geometryczną?
Jest to bardzo dobre pytanie, a odpowiedź na nie jest bardzo prosta i oczywista. A mianowicie średnia geometryczna jest wykorzystywana w statystyce, gdzie znajduje zastosowanie przy badaniach średniego tempa zmiany zjawisk. Średnia geometryczna określa wzrost lub spadek danej zmiennej w badanym okresie. Jest to bardzo przydatne w analizie wyników inwestycyjnych.

Zadanie 1
Oblicz średnią geometryczną liczb 2, 4 i 8.
Jest to bardzo proste zadanie, ponieważ wystarczy nasze wartości podstawić do wzoru.

Odpowiedź: Średnia geometryczna liczb 2, 4 i 8 jest równa 4.

Zadanie 2
W sklepie odzieżowym cena pewnej koszulki wzrosła najpierw o 25%, a następnie o 30%. Pod koniec sezonu obniżono jej cenę o 15%. Jaka była średnia procentowa zmiana ceny tej koszulki?
Aby rozwiązać to zadanie musimy założyć, że będzie oznaczało początkową cenę tej koszulki w złotówkach i musimy rozpisać cenę tej koszulki po każdej zmianie ceny.
– początkowa cena koszulki

– cena koszulki po pierwszej podwyżce

– cena koszulki po drugiej podwyżce UWAGA! Ważne jest, aby pamiętać, że druga podwyżka w tym przypadku o 30% jest od ceny już po pierwszej podwyżce, jest to bardzo często popełniany błąd, więc uważaj podczas rozwiązywania tego typu zadań!!!

– cena koszulki po obniżce

Teraz wystarczy ułożyć odpowiednie równanie, załóżmy że oznacza średni czynnik zmiany ceny koszulki, a więc iloczyn p, p, p i a będzie równy ostatecznej cenie koszulki. Teraz to zapiszmy.

teraz wystarczy, tylko rozwiązać to równanie

Odpowiedź: Przy każdej zmianie ceny koszulka drożała średnio o 11%.

Zadnie 3
W tabelce poniżej zostały przedstawione liczba zebranych jabłek w pewnym sadzie w latach 2015-2018. Oblicz średnie tempo zmian liczby zebranych jabłek w tym okresie.

Najpierw należy ustalić tempo zmian w każdych kolejnych dwóch latach.

Teraz należy obliczyć średnią geometryczną tych liczb.

Odpowiedź: W badanym okresie średni przyrost liczby zebranych jabłek wyniósł 22%.