Średnia ocen

Średnia ocen
1. Zacznę od tego czym jest średnia arytmetyczna. Jest to najłatwiejszy do zrozumienia rodzaj średniej. Najprościej mówiąc, jest to suma wartości podzielona przez liczbę tych wartości. Wzór na średnią arytmetyczną to:
, gdzie a, b, c, d…n to wartości dla których obliczamy średnią arytmetyczną, natomiast n jest liczbą tych wartości.
Średnia arytmetyczna ma wiele zastosowań w życiu codziennym, np. średnia płaca, średnia cena lub średnia ocen.
2. Natomiast średnia ważona to średnia wartości, którym przypisuje się różne wagi, tak aby elementy o większej wadze miały większy wpływ na średnią ważoną. Jeśli wszystkie wagi są sobie równe, to średnia ważona tych wartości jest równa ich średniej arytmetycznej. Wzór na średnią ważoną, gdy wszystkie wagi są większe od zera wygląda tak:
, gdzie α, β, γ…ω to wartości, a a, b, c…d to wagi odpowiadające tym wartościom.
3. Jedną z cech średniej ważonej jest paradoks Simpsona. Paradoks Simpsona polega na tym, że efekty działania różnych grup wydają się odwrócone, gdy połączymy te grupy.
Przykład paradoksu Simpsona:
Wojtek i Maciek zjadają jabłka. Wiemy, że jeśli jeden z nich ugryzł jabłko, to drugi z nich go nie zje. Pierwszego dnia Wojtek zjadł w całości 70% ugryzionych przez siebie jabłek, natomiast drugiego dnia zjadł w całości 20% ugryzionych przez siebie jabłek. Maciek pierwszego zjadł w całości 60% ugryzionych przez siebie jabłek, a drugiego dnia tylko 10%. W obu dniach Wojtek zjadał do końca dużo większy procent jabłek niż Maciek. Paradoks polega na tym, że jeśli połączymy zjedzone przez obydwu chłopców jabłka, może się okazać, że Maciek zjadł do końca znacznie większy procent jabłek niż Wojtek. Przyczyną tego jest to, że w zadaniu nie została podana liczba zjedzonych przez nich jabłek. Możemy przyjąć, że pierwszego dnia Wojtek ugryzł 10 jabłek, z czego zjadł 7 jabłek, a drugiego dnia ugryzł 100 jabłek, z czego 20 zjadł w całości. Natomiast Maciek mógł pierwszego dnia ugryźć 100 jabłek, z czego zjadł do końca 60, a drugiego dnia mógł ugryźć 10 jabłek, z czego w całości zjeść tylko 1 jabłko. Wynika z tego, że Wojtek zjadł w całości z 27 jabłek, a Maciek w całości zjadł 61 jabłek. Obydwoje ugryźli taką samą ich ilość przez te dwa dni, ponadto w każdym dniu Wojtek zjadł więcej procent ugryzionych jabłek, jednak łącznie Maciek zjadł w całości więcej jabłek niż Wojtek.
4. Średnią ocen można obliczyć za pomocą średniej arytmetycznej, jednak jeśli w zadaniu mamy podane wagi poszczególnych ocen to dokładniejszym sposobem będzie zrobienie tego za pomocą średniej ważonej.

przykład 1
Jacek z matematyki w całym roku szkolnym dostał dwie dwójki, cztery trójki, trzy czwórki, siedem piątek i osiem szóstek. Jaka ocena wychodzi mu na koniec roku szkolnego z matematyki, jeśli jego nauczyciel wstawia piątkę, gdy średnia jest wyższa lub równa 4?
Rozwiązanie:
Najpierw zamieniamy 4 na ułamek dziesiętny:
4= 4,625
Teraz obliczamy liczbę ocen Jacka z matematyki:
2 + 4 + 3 + 7 + 8 = 24
Teraz obliczamy średnią arytmetyczną tych ocen ze wzoru:
, podstawiamy dane;
= = = = 4,625, czyli Jacek dostanie piątkę.
odp. Jacek z matematyki na koniec roku szkolnego dostanie piątkę.

przykład 2
Marek na świadectwie ma 14 ocen z różnych przedmiotów: jedną dwójkę, cztery trójki, siedem czwórek i dwie piątki. Jaką będzie miał średnią ocen ze wszystkich przedmiotów na zakończenie tego roku szkolnego?
Rozwiązanie:
Do obliczenia średniej jego ocen wykorzystamy średnią arytmetyczną:
, podstawiamy dane;
= = = ok. 3,71
odp. Średnia ocen Marka na koniec tego roku szkolnego ze wszystkich przedmiotów będzie wynosiła 3,71.

przykład 3
W szkole Nikodema ocena ze sprawdzianu ma wagę pięć, za kartkówkę i odpowiedź ustną ma wagę trzy, natomiast ocena za zadanie domowe i za aktywność ma wagę jeden. Nikodem z chemii dostał trójkę i piątkę ze sprawdzianu, trzy czwórki i trójkę z kartkówki, trójkę za odpowiedź ustną, trzy szóstki za aktywność i 4 za zadanie domowe. Oblicz, ile teraz wynosi jego średnia z tego przedmiotu.
Rozwiązanie:
Do obliczenia tej średniej będziemy musieli użyć średniej ważonej:
, podstawiamy dane;
, obliczamy iloczyny;
= = = 4
odp. Teraz średnia wszystkich ocen Nikodema z chemii wynosi 4.

przykład 4
Nauczycielka matematyki Piotra i Filipa przedstawiła uczniom zasady wystawiania oceny na koniec roku szkolnego. Według tego sprawdzian miał wagę cztery, kartkówka miała wagę trzy, a zadanie domowe miało wagę dwa. Piotr ma ze sprawdzianów trójkę, czwórkę i piątkę, z kartkówek – dwie piątki, a za zadanie domowe ma czwórkę. Natomiast Filip ze sprawdzianów ma dwie czwórki i piątkę, z kartkówek ma dwie czwórki, a za zadanie domowe ma trójkę. Oblicz jaką ocenę końcową dostaną Piotr i Filip z tego przedmiotu.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczymy średnią ważoną ocen Piotra:
, podstawiamy dane;
, obliczamy iloczyny;
= = 4,3
Teraz obliczamy średnią ocen Filipa:
, podstawiamy dane;
, obliczamy iloczyny;
= 3,95
odp. Piotr będzie miał średnią 4,3, a Filip będzie miał średnią 3,95.