Średnia ważona

Zwykle, gdy słyszymy słowo średnia, pierwsze co nam przychodzi do głowy, to tzw. średnia arytmetyczna. Jak być może pamiętasz (lub intuicyjnie się domyślasz) średnią arytmetyczną liczymy w następujący sposób: wszystkie dane dodajemy do siebie po czym dzielimy przez ich ilość. 

Przykład: Adrian bardzo pilnie się uczy fizyki i na koniec roku jego oceny to dwie czwórki, trzy piątki i jedna szóstka. Obliczymy średnią arytmetyczną jego ocen w następujący sposób:

W liczniku dodaliśmy do siebie wszystkie oceny (pamiętając o tym, że jeśli dostał dwie czwórki, dodajemy 4 dwa razy, a jeśli trzy piątki – dodajemy 5 trzy razy), a w mianowniku ilość wszystkich ocen.

Ćwiczenie 1:
a) Oceny Daniela z polskiego to dwie trójki, czwórka, jedynka i 3 piątki. Oblicz średnią arytmetyczną jego ocen.
b) Oceny Natalii z chemii do dwójka, czwórka i dwie piątki z kartkówek, trójka za odpowiedź na lekcji i trzy piątki ze sprawdzianów. Oblicz średnią arytmetyczną ocen Natalii.

Rozwiązania:
a) Tak, jak wcześniej, będziemy dzielić sumę wszystkich ocen przez ich ilość:

b) Zwróć uwagę, że licząc średnią arytmetyczną zupełnie nie interesuje nas, które oceny Natalii są z kartkówek, a które ze sprawdzianów. Wystarczy, że dodamy je wszystkie do siebie, po czym podzielimy przez ich ilość (czyli postąpimy dokładnie tak, jak wcześniej):

Jak widać w przykładzie b), licząc średnią arytmetyczną, całkowicie zignorowaliśmy fakt, czy ocena jest ze sprawdzianu, kartkówki czy odpowiedzi ustnej. Czasami jednak chcielibyśmy żeby dane, które uważamy za ważniejsze (na przykład oceny ze sprawdzianów) miały większy wpływ na średnią niż te, które są mniej istotne (na przykład z oceny odpowiedzi na lekcji). Do tego właśnie służy średnia ważona. Licząc ją, każdej grupie danych przypisujemy wagę – im wyższa, tym większy wpływ na średnią będzie mieć dana grupa. 

Przykład 2: Oceny Natalii z chemii do dwójka, czwórka i dwie piątki z kartkówek, trójka za odpowiedź na lekcji i trzy piątki ze sprawdzianów. W szkole, w której uczy się dziewczynka, oceny ze sprawdzianów mają wagę 3, oceny z kartkówek – wagę 2, a zadania domowe i odpowiedzi na lekcji wagę 1.

Jak widać, w szkole Natalii za najbardziej istotne uważa się oceny ze sprawdzianów (będą miały największy wpływ na średnią), bo są wagi 3. Oceny z kartkówek są mniej ważne od sprawdzianów, bo mają wagę 2. Najmniej istotne są oceny z zadań domowych i odpowiedzi na lekcji – obydwie te grupy mają wagę 1.

Przejdźmy teraz do tego, jak się liczy średnią ważoną: każdą daną (ocenę) mnożymy razy przypisaną jej wagę. Wszystkie iloczyny sumujemy w liczniku ułamka. Natomiast w mianowniku będzie suma wszystkich wag:

Wróćmy do przykładu 2 i policzmy średnią ważoną ocen Natalii. Aby to sobie ułatwić, wypiszmy poniżej:
Oceny z wagą 3 (ze sprawdzianów): 5, 5, 5
Oceny z wagą 2 (kartkówki): 2, 4, 5, 5
Oceny z wagą 1 (zadania domowe, odpowiedzi ustne):3

Po takim uporządkowaniu, przejdziemy do obliczeń:

Warto w tym momencie zauważyć, że możemy sobie uprościć obliczenia. Dla wszystkich ocen, mnożonych przez tę samą wagę, możemy wyciągnąć jej wartość przed nawias. Natomiast w mianowniku możemy zapisać sumy tych samych wag jako iloczyny . Otrzymujemy wtedy:

Przećwiczmy liczenie średniej ważonej jeszcze kilka razy:

Ćwiczenie 3:
Piotrek chodzi do tej samej szkoły, co Natalia (a więc wagi poszczególnych form sprawdzania wiedzy są takie same, jak w przykładzie 2). Jego oceny z angielskiego to trójka i jedynka ze sprawdzianów, dwie czwórki z kartkówek, piątka i czwórka z odpowiedzi ustnych i jedna piątka za zadanie domowe. Oblicz średnią ważoną ocen Piotrka. 

Rozwiązanie:
Tak, jak w przypadku Natalii, zacznijmy od zestawienia ocen i ich wag. W przypadku Piotrka, wygląda to następująco:
Oceny z wagą 3 (ze sprawdzianów): 3, 1
Oceny z wagą 2 (kartkówki): 4, 4
Oceny z wagą 1 (zadania domowe, odpowiedzi ustne):5, 4, 5
Nauczeni doświadczeniem z poprzedniego ćwiczenia, od razu zapisujemy:

Odpowiedź: Średnia ważona ocen Piotrka to .

Ćwiczenie 4:
Dawid i Zuzia chodzą do tej samej klasy, do szkoły, w której oceny mają następujące wagi: sprawdziany są wagi 3, kartkówki i odpowiedzi ustne – wagi 2, a zadania domowe i prace w grupach – wagi 1.
Oceny Dawida to dwie piątki i jedna szóstka za sprawdziany, dwie czwórki i dwie piątki za kartkówki oraz dwie jedynki i dwójka za zadania domowe.
Oceny Zuzi natomiast to trójka i dwie dwójki za sprawdziany, trójka i trzy czwórki za kartkówki oraz dwie piątki
i jedną szóstkę za zadania domowe.
Oblicz średnią arytmetyczną oraz średnią ważoną ocen każdego z uczniów.
 
Rozwiązanie:
Utwórzmy tabelkę z zestawieniem ocen Zuzi i Dawida: