Opracowanie:
Średnia
Średnia
Średnia
W tym opracowaniu dowiesz się:
Czym jest średnia.
Jakie są najczęściej używane średnie.
W jaki sposób oblicza się średnią.
Jakie są przykłady zastosowań średnich.
1. Czym jest średnia?
Średnią można definiować na różne sposoby. Dzieje się tak ze względu na to, że średnich które można obliczyć jest bardzo wiele, a każda z nich ma swoją własną definicję. Najbardziej neutralnym określeniem średniej jest to, że jest ona miarą która ukazuje nam przeciętną wartość jaką ma dany przedział wartości. Można również ująć to w taki sposób, że licząc średnią szukamy tego jaki jest środek danego przedziału wartości.
2. Jakie są najczęściej używane średnie?
Średnich które można wyróżnić jest bardzo wiele. Lecz te najbardziej popularne to:
-Średnia arytmetyczna
-Mediana
-Średnia ważona
-Średnia harmoniczna
-Średnia geometryczna
3. W jaki sposób oblicza się średnią?
Każdą ze średnich oblicza się w inny sposób, choć można śmiało stwierdzić, że wiele średnich posiada bardzo podobny sposób jej obliczania. Przedstawię poniżej sposoby obliczania każdej z powyżej wymienionych średnich, wraz z przykładami zadań i ich rozwiązaniami.
1. Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna jest to średnia, która ukazuje nam przeciętna wartość jaką ma dany przedział wartości.
Wzór + sposób obliczania:
Wzór na średnią arytmetyczną:
x=
1. Dodajemy do siebie wszystkie liczby.
2. Dzielimy sumę przez ilość liczb jaką ma dany przedział wartości.
Przykład:
Oblicz średnią arytmetyczną liczb: 8, 5, 12, 4, 7, 9, 10
Krok 1: Przedstawiamy wzór na średnią arytmetyczną:
x=
Krok 2: Podstawiamy wartości do wzoru:
x=
x=
x=7
Odpowiedź: Średnia arytmetyczna tych liczb wynosi 7.
2. Mediana
Mediana jest to średnia która pokazuje nam środek danego zbioru, który jest uporządkowany od najmniejszej do największej jego wartości.
Sposób obliczania:
*DLA NIEPARZYSTEJ ILOŚCI WARTOŚCI*
1. Posiadamy zbiór liczb: {a, b, c, d, e, f, g}
2. Porządkujemy je od najmniejszej do największej pod względem wartości.(Załóżmy, że już są uporządkowane)
3. Usuwamy po kolei po jednej wartości z każdego z brzegów:
a b c d e f g
b c d e f
c d e
d
4. Otrzymujemy medianę która wynosi wartość d.
*DLA PARZYSTEJ ILOŚCI WARTOŚCI*
1. Posiadamy zbiór liczb: {a, b, c, d, e, f, g, h}
2. Porządkujemy je od najmniejszej do największej pod względem wartości.(Załóżmy, że już są uporządkowane)
3. Usuwamy po kolei po jednej wartości z każdego z brzegów:
a b c d e f g h
b c d e f g
c d e f
d e
4. Otrzymujemy 2 liczby i obliczamy ich średnią arytmetyczną, która będzie naszą medianą.
x=
Przykład 1:
Oblicz medianę liczb 3, 8, 2, 5, 5, 5, 4, 3, 1
Krok 1: Porządkujemy liczby od najmniejszej do największej pod względem wartości:
1 2 3 3 4 5 5 5 8
Krok 2: Usuwamy po kolei po jednej wartości z każdego z brzegów:
1 2 3 3 4 5 5 5 8
2 3 3 4 5 5 5
3 3 4 5 5
3 4 5
4
Odpowiedź: Mediana tych liczb wynosi 4.
Przykład 2:
Oblicz medianę liczb 8, 7, 5, 8, 9, 2, 4, 6, 12, 1
Krok 1: Porządkujemy liczby od najmniejszej do największej pod względem wartości:
1 2 4 5 6 7 8 8 9 12
Krok 2: Usuwamy po kolei po jednej wartości z każdego z brzegów:
1 2 4 5 6 7 8 8 9 12
2 4 5 6 7 8 8 9
4 5 6 7 8 8
5 6 7 8
6 7
Krok 3: Obliczamy średnią arytmetyczną tych liczb:
x=
x=
x=
x=6,5
Odpowiedź: Mediana tych liczb wynosi 6,5.
3. Średnia ważona
Średnia ważona jest to średnia wartości do których została przypisana waga. Im większą wagę ma dana wartość tym ma większy wpływ na średnią ważoną.
Wzór + sposób obliczania:
Wzór na średnią ważoną:
W=
1 . Mnożymy wartości liczbowe z ich wagami
2 . Dodajemy do siebie iloczyny liczb i ich wag
3 . Dzielimy uzyskaną wartość przez sumę wag.
Przykład:
Oblicz średnią ważoną ocen Janka, który ma dwie trójki ze sprawdzianów, jedną jedynkę z kartkówki i piątkę za pracę domową, wiedząc że:
-sprawdzian ma wagę 3
-kartkówka ma wagę 2
-praca domowa ma wagę 1
Krok 1: Przedstawiamy dane:
3 waga 3
3 waga 3
1 waga 2
5 waga 1
Krok 2: Przedstawiamy wzór na średnią ważoną:
W=
Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:
W=
W=
W=2
Odpowiedź: Średnia ważona ocen Janka wynosi 2.
4. Średnia harmoniczna
Średnia harmoniczna jest to średnia, która różni się od pozostałych średnich tym, że potęga tej średniej ma wartość -1. Oznacza to, że wartości z przedziału które są wykorzystywane do obliczenia średniej harmonicznej, podczas obliczania są swoją odwrotnością.
Wzór + sposób obliczania:
Wzór na średnią harmoniczną:
H=
1. Dodajemy odwrotności wartości liczbowych do siebie.
2. Dzielimy ilość liczb z przedziału przez sumę odwrotności wartości liczbowych.
Przykład:
Oblicz średnią harmoniczną liczb 3 5 6 8 9
Krok 1: Przedstawiamy wzór na średnią harmoniczną:
H=
Krok 2: Podstawiamy wartości do wzoru:
H=
Krok 3: Sprowadzamy wartości do wspólnego mianownika:
H=
H=
H=
H=
H 5,34
Odpowiedź: Średnia harmoniczna wynosi 5,34.
5. Średnia geometryczna
Średnia geometryczna jest to średnia, której zastosowaniem jest obliczenie średniej, gdy wielkości są zmieniające się pod aspektem geograficznym.
Wzór + sposób obliczania:
Wzór:
G=
1 . Mnożymy wartości z przedziału
2 . Iloczyn wartości z przedziału podkładamy pod pierwiastek stopnia, który jest równy ilości wartości, które są pod pierwiastkiem.
Przykład:
Oblicz średnią geometryczną liczb 3 5 6
Krok 1: Przedstawiamy wzór na średnią geometryczną:
G=
Krok 2: Podstawiamy wartości do wzoru:
G=
G=
G 4,48
Odpowiedź: Średnia geometryczna wynosi 4,48.
4. Jakie są przykłady zastosowań średnich?
Średnia jest wszechstronnym pojęciem, które może być stosowane praktycznie wszędzie. Między innymi w szkole uczniowie mają średnią swoich ocen, która określa jaką ocenę ostatecznie dostanie uczeń na koniec semestru, czy też roku szkolnego. Średnia może również dotyczyć różnych statystyk, które określają np. jaka przeciętna ilość osób w miesiącu odwiedza muzeum, lub inne atrakcje kulturowe, bądź rozrywkowe.
Dziękuję za uwagę.