Średnica

Zacznijmy od wytłumaczenia czym jest wspomniana średnica.
Średnica jest to akurat pojęcie związane głównie z kołem. W kole, średnica jest to jego najdłuższa cięciwa (można ją nazwać również podwójnym promieniem, tylko pamiętaj, by promienie podczas układania się w średnice były do siebie równoległe i po przedłużeniu idealnie na siebie nachodziły), która przechodzi przez środek koła i łączy dwa punkty na brzegu koła znajdujące się naprzeciwko siebie. W kole średnica (przykładowa) wygląda jak na obrazku po lewej:
Dodam, że w kole można wyznaczyć nieskończenie wiele średnic.

Teraz wiemy czym jest średnica (jest to dopiero początek później wprowadzę definicje dla innych wielokątów), a więc teraz czas na jej pozycję (działanie/ rolę) w matematyce.

W matematyce średnicę oznaczamy literą: 'd’
średnicę spotkamy tylko w dwóch wzorach: pierwszy jest to wzór na obwód koła (zwany inaczej długością okręgu) oraz we wzorze na długość średnicy, wykorzystując długość promienia (przedstawię je z ciekawymi tematami):

Wzór 1.- o długości nie mierzalnej zbyt łatwo, czyli o obwodzie koła:
Jest to wzór prosty i nie wymaga skomplikowanych wyliczeń:

gdzie:
Obw.-obwód koła (tudzież długość okręgu)
d-średnica koła
π- liczba pi

Wzór 2.- promień podwojony, czyli przez środek idzie średnica:

gdzie:
d- średnica koła
promień koła

są to na razie tylko dwa wzory, gdzie występuje średnica (a dzięki jednemu ją obliczymy), lecz spróbujmy może wyprowadzić średnicę z dwóch wzorów koła- (wspomnianego) wzoru na obwód koła i wzoru na pole koła:

Na początku wyprowadźmy wzór na średnicę z obwodu koła:
Jest to naprawdę proste, gdyż obustronnie dzielimy równanie przez liczbę π:

/

Gdzie:
d-średnica
π- liczba pi
Obw- obwód koła

Uwaga!!!
Jeśli chcesz skorzystać z tego wzoru, by obliczyć średnicę koła- pamiętaj by obwód był podany w postaci równania z liczbą π, lecz w przypadku, gdy obwód jest podany dla konkretnej lub nam niewiadomemu przybliżeniu liczby π, to wtedy liczbę pi w mianowniku, zastępujemy podanym przybliżeniem, lub jeśli jest podany przybliżony obwód, a nie wiemy jakie przybliżenie zostało wykorzystane, to wtedy korzystamy z przybliżenia:

Teraz zajmijmy się wyciągnięciem średnicy ze wzoru na pole powierzchni koła:

/ (na początku pozbywamy się liczby π)

/ (teraz pozbywamy się potęgi)

Na razie wyszedł nam wzór na promień koła, gdy znamy jego pole powierzchni, ale my musimy wyprowadzić średnicę. Dlatego wykorzystamy zależność, że:

Wystarczy tylko zamienić promień na średnicą (korzystając z równości, która jest powyżej:

/ (wartość, która nam ma wyjść musi być całkowita, czyli bez ułamka oraz jedna, czyli niewidoma musi występować tzw. solo)

Uwaga!!!
Tutaj tez pamiętaj o treści, która była w poprzedniej uwadze

Teraz zróbmy 4 zadania w, których obliczymy długość średnicy, korzystając z wyżej uzyskanych zależności oraz inne wartości do których będzie wymagana długość średnicy:

zad. 1
Oblicz średnicę koła, wiedząc, że:
a)
b)
c)
d) dla:
Przyjmij, że jednostką są 'cm’
Rozwiązania:

a) wystarczy tylko podłożyć wartość do wzoru:

b) znowu tylko podstawiamy do wzoru:

c) tutaj mamy podany obwód w przybliżeniu lecz nie znamy wartości π dla, której był on obliczony, dlatego korzystamy z jego przybliżenia:
(pamiętasz uwagę wyżej)
który będzie naszym dzielnikiem (mianownikiem) w rozwiązywaniu równania:

d) i znowu mamy wynik podany w przybliżeniu, lecz w tym przypadku mamy podane przybliżenie liczby π , więc wykorzystujemy podane przybliżenie:

Zad. 2
W kwadrat jest wpisane koło o największej możliwej średnicy. Koło ma pole . Ile wynosi pole kwadratu w które jest wpisane koło?

Rozwiązanie:
Tutaj nie musimy za bardzo kombinować, wystarczy tylko pamiętać o tym, że jeśli w kwadrat jest wpisane największe koło, to wtedy średnica tego koła jest równa bokowi kwadratu. Teraz obliczmy długość tej średnicy:

Teraz mamy daną średnicę koła, a jak wcześniej pisałem, zachodzi równość:

gdzie:
a- bok kwadratu

a pole kwadratu obliczamy ze wzoru:

Więc podstawiamy tylko długość średnicy koła i obliczamy pole kwadratu:

Mamy już wszystkie czynniki składające się na odpowiedź, więc możemy ją dać:
Odp.: Pole tego kwadratu wynosi

Zad. 3
w prostokąt, w którym jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego, są wpisane dwa, możliwie jak największe koła. Wiedząc, że obwód dwóch takich kół jest równy cm każdy, oblicz ile wynosi pole i obwód koła w które jest wpisany ten prostokąt?

Rozwiązanie:
Polecam zrobić sobie przy tego typu zadaniach rysunek pomocniczy, wspomniana figura i te koła wyglądają jak na rysunku po lewej:
Teraz doskonale wiemy jak wygląda wspomniana sytuacja.
Z rysunku wnioskujemy, że krótszy bok tego prostokąta jest równy długości jednej średnicy koła, gdy bok dłuższy jest równy długości dwóm średnicom kół (co jednocześnie spełnia warunek prostokąta w zadaniu, że jeden bok prostokąta jest dwa razy dłuższy od drugiego), lecz my mamy tylko obwód każdego koła, który dla jednego koła wynosi cm, więc musimy podstawić to do wzoru uzyskanego wcześniej:

Teraz mamy długość boku krótszego, teraz wystarczy obliczyć długość drugiego boku tego prostokąta:

Mamy dane długości tych boków, lecz nas pytają o obwód i pole koła w które jest wpisany prostokąt. Byłoby nam to trudno obliczyć, gdyby nie fakt, że średnica koła większego (tak go nazywajmy, lecz w zadaniu pamiętaj o poprawnej nazwie) jest równa przekątnej prostokąta, a tę przekątną możemy obliczyć z twierdzenia pitagorasa dla tych dwóch boków prostokąta:

/ (pozbywamy się potęgi)

Mamy teraz daną przekątną prostokąta, a zarazem średnicę koła większego, więc możemy rozpocząć obliczanie obwodu oraz pola koła większego:

To było proste, lecz w polu podnosimy do potęgi promień, a nie średnice, dlatego musimy 'skrócić’ długość średnicy do długości promienia:

Teraz przechodzimy do obliczenia pola kola większego:

Teraz mamy dane wszystkie czynniki składające się na odpowiedź, dlatego możemy już dać odpowiedź:
Odp.: koło, w które jest wpisany prostokąt, ma obwód długości cm, a jego pole wynosi .

Zad. 4
Na trójkącie o przyprostokątnych długości 3cm i 4cm jest opisane najmniejsze możliwe koło. Ile wynosi obwód tego koła? Przyjmij, że

Rozwiązanie:
Wypiszmy sobie wpierw dane i szukane:

Dane:
a- 3cm
b- 4cm

Szukane:
Obw.- ?

Nie znamy średnicy koła, by obliczyć szukane, lecz wiedz, że w przypadku, gdy na trójkącie prostokątnym jest opisane najmniejsze możliwe koło, to wtedy średnica tego koła jest równa przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, na którym jest opisane te koło (można to udowodnić wykorzystując występujący w kole zależność kąta środkowego do kąta wpisanego na podstawie kąta środkowego, który występuje na średnicy). Lecz nie mamy danej długości przeciwprostokątnej tego trójkąta, dlatego można, go obliczyć na dwa sposoby:

sposób 1.:
twierdzenie pitagorasa:

/ (pozbywamy się potęgi)

sposób 2.:
trójkąt pitagorejski
Zauważ, że jest to trójkąt o przyprostokątnych długości 3cm i 4cm, zastanów się i spróbuj sobie przypomnieć co to też oznacza. Jeśli nic nie wymyśliliście to może kojarzycie trójkąt pitagorejski? Teraz jeśli wiecie o co mi chodzi, to znacie własności trójkąta pitagorejskiego, w którym występują boki 3cm, 4cm oraz 5cm. dlatego bez liczenia mogliśmy 'przewidzieć’ długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Teraz, gdy znamy długość średnicy koła (która jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta na, którym jest opisane koło), możemy wykorzystać
wzór na obwód koła w którym wykorzystujemy średnicę koła:

Teraz mamy wszystkie wymagane dane, by dać odpowiedź, więc możemy ją dać:
Odp.: Obwód tego koła wynosi ok.

Za nim przejdę do średnicy w wielokątach, zapoznam was teraz z ciekawostkami na temat średnicy Planet Układu Słonecznego oraz słońca i księżyca

Średnica Ziemi 12 742 km.
Średnica Księżyca 3 474 km.
Średnica Słońca 1 3914 mln km.
Średnica Merkurego 4 879,4 km
Średnica Marsa 6 779 km
Średnica Jowisza 139 820 km
Średnica Saturna 116 460 km
Średnica Wenus 12 104 km
Średnica Neptuna 49 244 km
Średnica Uranu 50 724 km

Teraz możecie się chwalić tymi informacjami w szkole i zdziwić nauczyciela wiedzą 🙂