Środkowe w trójkącie

Na początek wyjaśnijmy sobie czym jest środkowa w trójkącie:
Środkowa w trójkącie jest odcinkiem łączącym wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego jej boku. Każdy trójkąt posiada dokładnie trzy środkowe.

Na powyższym rysunku jesteśmy w stanie zauważyć, że punkt, w którym przecinają się wszystkie środkowe tego trójkąta dzieli każdą z nich w proporcjach licząc od boku, od którego jest poprowadzona.
Punkt, w którym przecinają się wszystkie przekątne trójkąta jest także jednocześnie środkiem ciężkości tego trójkąta. W każdym trójkącie trzy środkowe przetną się w jednym punkcie.
Poniżej znajduje się zestawienie środkowych w wybranych rodzajach trójkątów:
a) Trójkąt prostokątny
Rysunek:

Legenda:
– środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta ostrego trójkąta
– przeciwprostokątna
Wniosek:
Długością środkowej, która jest poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego, jest długość połowy jego przeciwprostokątnej.

b) Trójkąt równoramienny
Rysunek:

Legenda:
– środkowa poprowadzona z podstawy
– wysokość poprowadzona z podstawy
Wniosek:
Środkowa, która jest poprowadzona z podstawy trójkąta równoramiennego jest także jego wysokością. Wysokość trójkąta równoramiennego pokrywa się ze środkową poprowadzoną z jego podstawy.

c) Trójkąt równoboczny
Rysunek:

Legenda:
– środkowa
– wysokość
Wniosek:
Środkowe i wysokości w trójkącie równobocznym się pokrywają. Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w punkcie, który dzieli je w stosunku .

Rozwiążmy poniższe przykłady:
a) Przyprostokątna w trójkącie równoramiennym prostokątnym ma długość 4. Oblicz długość środkowych tego trójkąta.
Rysunek:

Dane:


oznaczyliśmy jako przyprostokątna trójkąta
oznaczyliśmy jako środkowa tego trójkąta poprowadzona ze środka przeciwprostokątnej
Obliczenia potrzebne do rozwiązania zadania:
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa

Podstawiamy dane, które posiadamy oraz obliczamy




Ponieważ wiemy jaką długość ma przeciwprostokątna, to porównujemy oraz .

b) Oblicz odległość środka ciężkości trójkąta prostokątnego od wierzchołka kąta prostego, jeżeli wiemy, że przyprostokątne tego trójkąta mają długości 16 i 12.
Dane:


Rysunek:

Obliczenia potrzebne do rozwiązania zadania:
Wiemy, że miejsce przecięcia trzech środkowych w trójkącie dzielą każdą z nich w stosunku . W ten sposób oznaczymy więc środkową:
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta :



, >
jest większe od zera, ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną i równą zero.

Dzięki temu, że środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym ma długość połowy przeciwprostokątnej mamy równość:


I


Podajemy odpowiedź: Odległość wierzchołka kąta prostego od środka ciężkości jest równa cm.