Stożek

,,Stożek”

Czym jest stożek?
Stożek należy do grupy brył obrotowych. Jest ona ograniczona przez powierzchnię stożkową, jak jej krzywa kierująca jest zamknięta, a także przez płaszczyznę która przecina tę powierzchnię stożkową. Część owej płaszczyzny wycięta przez powierzchnię stożkową jest podstawą stożka, która musi mieć kształt płaskiego koła.
Przepis na stworzenie stożka:
Stożek to bryła obrotowa, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego dookoła jednej z jego prostych, będących jego przyprostokątną, o 360°.

·Przyprostokątna trójkąta, która jest zawarta w osi obrotu jest wysokością ostrosłupa, którą oznaczamy przez h.

·Przyprostokątna trójkąta nazywana promieniem podstawy stożka, nie jest zawarta w osi obrotu, a oznaczamy ją literką r.

Tworzącą stożka jest przeciwprostokątna tego trójkąta, którą oznaczamy literą l

Ciekawostka
Stożek jest bryłą podobną do walca, a jedyną różnicą jest to, że stożek ma tylko jedną okrągłą podstawę, a walec- dwie.

A tak wygląda stożek pokazany na rysunku, na płaszczyźnie, wraz z wszystkimi objaśnieniami:


Na powyższych ilustracjach, pokazane są stożki proste.

Rodzaje stożków:
W matematyce (szczególnie na poziomie podstawowym) spotykać się będziemy z stożkami prostymi ( w większości), które można także nazwać stożkami prawidłowymi. Charakterystyczną cechą prostego stożka jest to, że jego wysokość pada zawsze na środek podstawy. Możemy domyślnie przypuścić, że mówiąc stożek, chodzi nam o stożek prosty. Warto jednak pamiętać, że w szczególnych przypadkach stożki mogą być również pochyłe, bądź ścięte.

Jak wyglądają takie nietypowe stożki?
Stożek prosty, to normalny prosty stożek, którego poznajemy po samym wyglądzie, a także gdy przetniemy go równo w połowie, zobaczymy dwa trójkąty równoramienne.
Stożek ścięty, jest to stożek z odciętym czubkiem.
Stożek pochyły wyróżnia zaś to iż jest on pochylony w jedną stronę.
S
Tak wyglądają wszystkie trzy rodzaje stożków na płaszczyźnie:

Tak wygląda siatka stożka i jej oznaczenia:


Czym jest przekrój osiowy stożka i kąt rozwarcia stożka?

Przekrój osiowy stożka- tak nazywamy trójkąt równoramienny, zawarty w tym stożku, o bokach długości 2r,
l oraz l.

Gdy wyobrazimy sobie że nasz stożek jest stożkiem (pachołkiem) drogowym, to przekrój osiowy stożka będzie trójkątem, którego zobaczymy gdy ktoś przetnie ten stożek dokładnie w połowie, tnąc równolegle do osi obrotu.

Kąt który zawarty jest między bokami o długościach l w przekroju osiowym stożka nazywany jest kątem rozwarcia stożka.

Zauważmy także, że miara kąta rozwarcia stożka jest równa podwojonej mierze kąta który zawarty jest między bokami o długości h oraz l w trójkącie prostokątnym poprzez którego obrót powstał stożek.

Rodzaje przekrojów stożka:
Przekroje stożka to figury powstałe na skutek przecięcia powierzchni stożkowej

Gdy jest to obrotowa powierzchnia stożkowa, to w przekroju uzyskuje się:
1. Okrąg (płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi powierzchni stożkowej, i nie przechodzi przez jej wierzchołek)
2. Elipsę (płaszczyzna nie jest prostopadła do osi, nie jest równoległa do tworzącej,nie przechodzi przez wierzchołek)
3. Parabolę (płaszczyzna równoległa do oai powierzchni stożkowej, nie przechodzi przez wierzchołek)
4. Hiperbolę (płaszczyzna równoległa do osi, nie przechodzi przez wierzchołek)
5. Dwie proste przecinające się (płaszczyzna przechodzi przez wierzchołek, nie dotyka powierzchni)
6. Prosta (przechodzi przez wierzchołek i dotyka powierzchni)
7. Punkt ( przechodzi przez wierzchołek, prostopadła do osi)

Objętość stożka
Objętość stożka obliczamy bardzo podobnie, jak przy ostrosłupach, korzystając ze wzoru:

Objętość stożka = 1/3 × podstawa

Różnicą jest fakt, że podstawą stożka jest koło, a więc:
Objętość stożka wyrażana jest wzorem:

R
πr2 -jest to pole podstawy (w tym przypadku)

Pole powierzchni bocznej stożka i pole powierzchni całkowitej stożka
Jak zapewne można odczytać z zamieszczonego powyżej rysunku siatki (zamieszczona pod rysunkiem przedstawiającym stożki: prosty, ścięty i pochyły), po ,,rozwinięciu” stożka powierzchnią boczną stożka jest wycinek koła, o promieniu l.

Pole powierzchni bocznej stożka, wyrażane jest wzorem:

Skąd wziął się ten wzór?
Spróbujmy wprowadzić wzór znajdujący się powyżej, znając promień podstawy stożka, a także tworzącą stożka.

Zauważmy, że wzór
określa pole powierzchni bocznej stożka. Niestety jednak nie znamy kąta α. Jeśli zauważymy, że proporcja α/360° we wzorze na pole wycinka koła odpowiada proporcji
Długość łuku wycinku koła/ Obwód pełnego koła ,
to w naszym przypadku możemy zapisać zależność:

Stąd mamy:

Pole powierzchni całkowitej stożka określa się jako:

Pole powierzchni całkowitej = Pole

Czyli po prostu:
Pole powierzchni całkowitej stożka określane jest wzorem:

Faktycznie:

Przykład #1
Jaką objętość ma stożek o wysokości 8 i tworzącej długość 10?

Narysujmy rysunek poglądowy:

Żeby policzyć objętość stożka potrzebna nam będzie długość promienia podstawy, a policzymy ją twierdzeniem Pitagorasa.

r2 + 82 = 102
r2 + 64 = 100
rr2 = 36
r = 6 V. r =-6

Długość musi być wartością nieujemną, a więc r = 6.
Podstawiając wyliczoną wartość do wzoru na objętość stożka, otrzymujemy:

V = 1/3 πr2h = 1/3 π62 × 8 = 96π

Odpowiedź: Objętość podanego stożka wynosi 96π.

Przykład #2
Kąt rozwarcia stożka ma 60°, a jego promień podstawy, równy jest 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętości tego stożka.

Narysujmy rysunek poglądowy:

Zauważmy, że ponieważ kąt rozwarcia stożka ma miarę 60°, to przekrój osiowy stożka musi być trójkątem równobocznym, jeśli dodatkowo wiemy także o tym, że promień podstawy stożka ma długość 3, to długość boku przekroju osiowego stożka musi mieć długość 6. Ze wzoru wysokość trójkąta równobocznego mamy:

h = 3(znak pierwiastka)3/ 2

Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej stożka mamy

Pc = πr(r + l) = π3 (3 + 6) = 27π

Ze wzoru na objętość stożka posiadamy:

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego stożka równe jest 27π, a objętość to

Przykład #3
W stożku którego tworząca o długości 8 nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, połączono odcinkiem środek jednego z promieni podstawy z wierzchołkiem. Oblicz długość tego odcinka.

Narysujmy obrazek poglądowy:

Z zależności trygonometrycznych mamy:

oraz:
2a/8 = cos60°
a/4 = 1/2
a = 2

Aby obliczyć χ pozostaje skorzystać z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach.
h,χ,a

Ponieważ długość musi być nieujemna:

Odpowiedź: Długość szukanego przez nas odcinka, to

Jakie zastosowanie w życiu codziennym ma stożek?
Może nie zwracamy na to uwagi, ale na co dzień możemy spotkać się z przedmiotami które maja kształt stożka na przykład: wafelek do lodów, słupek treningowy(używany na przykład przy pracach drogowych), choinka, lejek, czapeczka urodzinowa lub karnawałowa, pachołek,
a odwróconego- trąba powietrzna.
Stożek ma także kilka innych znaczeń, na przykład stożek rogówki, który jest chorobą. Stożki, to także rodzina morskich ślimaków.