Styczna do wykresu funkcji

Styczna to prosta, która ma jeden punkt wspólny z obiektem (styka się z nim). Podczas omawiania geometrii wspominane były na przykład styczne do okręgów.

Prosta (inaczej ) jest styczną do okręgu o równaniu w punkcie

Tak samo możemy poprowadzić styczną do wykresu funkcji:

Prosta o równaniu jest styczną do wykresu funkcji danej wzorem w punkcie

Prosta o równaniu jest styczną do wykresu funkcji danej wzorem w punkcie

Prosta o równaniu jest styczną do wykresu funkcji danej wzorem w punkcie

Bardzo intuicyjnie możemy zauważyć, że im funkcja jest „szybciej rosnąca w danym punkcie” [sic!] tym większą wartość ma współczynnik kierunkowy („tym bardziej zbliżona do pionu jest styczna”). W takim razie możemy domyślić się, że w tym zagadnieniu pochodna funkcji będzie mieć coś do rzeczy.

Musimy to jednak jakoś udowodnić – rozważmy poniższy rysunek:
grafika zapożyczona z agh.edu.pl
Pomarańczowa prosta to oczywiście sieczna, nie styczna. Współczynnik kierunkowy jej równania możemy obliczyć bez problemu wiedząc, że . .
Jeżeli chcemy wyznaczyć równanie stycznej, musimy rozważyć pewien graniczny przypadek siecznej – taki, gdzie (bo styczną otrzymalibyśmy, gdyby , ponieważ wtedy oraz opisywałyby ten sam punkt).
To, co otrzymaliśmy, to oczywiście definicja pochodnej
Stąd pierwszy ważny wniosek: w równaniu stycznej

Zapiszmy więc „aktualną wersję” równania stycznej jako . Musimy jeszcze znaleźć wartość współczynnika . Korzystamy z tego, że punkt styczności należy do tej prostej. Podstawmy więc:


Skąd, po podstawieniu, otrzymujemy kompletne równanie prostej:

FAKT: Styczna do wykresu funkcji w punkcie to prosta opisana równaniem

Zadanie 1:
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie o pierwszej współrzędnej :
a) ,
b) ,
c) dla ,
Odpowiedzi i podpowiedzi (pochodne):
a)
Odpowiedź:
b)
Odpowiedź:
c)
Odpowiedź: