Suma ciągu arytmetycznego

Ciąg nazywamy arytmetycznym występuje jeśli miedzy dowolnym wyrazem, a wyrazem, który go poprzedza jest stała. Różnice tę oznaczamy r.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
an = a1 + (n-1) r

Własność ciągu arytmetycznego: dowolny wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących.
an =

Suma n początkowych wyrazów ciągów arytmetycznych:
a1 + an = a2 + an-2 = a3+ an-3 =..

Wzór: Sn =
Jeśli w ciągu występuje wyraz środkowy to ma on
wartość : (a1 + an )

Przykłady:

an = -2n + 5
S10 = = =
-12 5 = -60
a1 = -2+5= 3
a10 = -15

an = ( 16, 20, 24, 28, 32……….., 324)
Sn = = = = 63
an = a1 + (n-1) r
an = 16+(n-1) 4 = 16 +4n-4= 4n +12
4n + 12= 324
4n = 312/:4
n= 78 –> wstawiłam do wzoru wyżej

Oblicz sumę 20 początkowych wyrazów ciągów które tworzą kolejne liczby naturalne takie, że przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3

an = ( 3,8,13,18…)
a1 = 3
r = 5
a20 = 3+95= 98
S20 = = 1010

Oblicz sumę wszystkich liczb 3-cyfrowych mniejszych od 500, które w wyniku dzielenia przez 4 dają resztę 1.

an = (101, 105, 109….497)
r =4
a1 = 101
an = 497
Sn = = = = 26900
an = a1 (an -1) r
an = 101+4(n-1)= 101+4n-4= 4n +97 = 4n +97= 497
4n= 400/:4
n = 100

Oblicz sumę wszystkich liczb nieparzystych od 0 do 150

an =( 1,3,5,7,9………,149)
r = 2
a1 = 1
an = 149
Sn = = = 5625

an = a1 (an -1) r
an = 1+ 2( n-1) = 1+2n-2 = 2n -1
2n-1= 149
2n = 150
n= 75

Oblicz sumę liczb mniejszych od 200, reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1

an = (4, 7, 10…. < 200)
a1 = 4
3n + 1 < 200
3n < 199
n < 66
n = 66
a66 = 3 66 +1 = 199
Sn = 66
Sn = 203 33 = 6699

Sn = 1016,5 , a1= 22, an = 85
1016,5 = / 2
2033 = (22 +85) n
2033 = 107n
n = 19

Sn = 728, n = 16, an = 63
an = a1 + (n-1) r
a1 = an – (n-1) r
a1 = 63 -15r

Sn = 16 = 16= (126-15r) 8
(126-15r) 8 = 728/:8
(126-15r) = 91
-15r = -35 / :(-1)
r= = 2

Sn = 456
an = 15
r = -12

Sn = = = =

an = a1 + (n-1) r
15 = a1 +12n (-12)
a1 = 12n+3

= 456
6n2 +9n -456= 0
∆= 81-4 6 (-456)= 11025
√∆= 105

n1 = = = 8
n2 = = = -12 –> nie należy

Sn = 2241
an = 148
n = 27
Sn = = = =
= 2241

an = a1 + (n-1) r
an = a 1 +26 r
148 = a1 +26 r
a1 = 148-26r

= 2241
(296-26r) = 166
-26r = -130
r = 5

S100. = 43950
7k + 2
(a1 + a 1 +693) 50 = 43950
2a 1 + 693 = 879
2a1 = 186
a1 = 93
r = 7

S 100 = =
(a1 +a 100 ) 50 =
a100 = a1 +99 7 = a 1 + 693

a100 = 93+99 7 = 786

Sn = 2625
an = 6k+3
an = 177
Sn = =
an = a 1 + (n-1) r
r= 6
177 = a 1 + (n-1) r
r= 6

177= a1 +6n-6
a1 = 183-6n
Sn = = 2625/ 2
-6n2 +360n -5250= 0
-n 2 +60n -875= 0
∆= 3600-4 (-1) (-875)= 3600 -3500 = 100
√100 = 10
x 1 = = 35
x 2 = = 25

a1 = 8
r= 3
S25 = = = 1100
a25 = 8+24 3
Sn = 798
= 798
an = 8+3n -3= 5+3n
= 793
= 793/ 2
3n 2 +13-1596= 0
∆= 169-4 3 (-1596)= 169+ 19152= 19321
√∆= 139
x1 = =
x2 = = 21

an = 172
r = 4
an = a 1 +(n-1) r
172 = a1 +(n-1) 4
Sn =
(n-2) 180= / 2
360(n-2)= (a1 +172) n
360(n-2) = (176-4n +172) n
360n -720 -348n -4n2
4n 2 +12n 720= 0
n2 +3n -180= 0
∆= 9-4 (-80)= 729
√∆= 27
n = = -15
n= = 12

a1 = 12
a7 = 39
Sn = 21 21 = 441
a1 +6r = 39
-6r= -27
r =
Sn = = =
an = a1 + (n-1) r
an = 12+(n-1)

441= / 2
882 = 4,5n 2 +14,5n
-4,5n 2 -14,5n +882 = 0

∆= 210,5 -4 (-4,5) 882=
210,5+ 15875 = 16085,5

S20 -S 9
S20 = = (4+a20 ) 10 =
23,2 10 = 232

a20 = 4 +(20-1) r
a20 = 4+ 19 r = 4+19 = 4+ =
19, 2

Obliczu sumę 20 wwielokotnosci liczby 7 zaczynając od liczby 42

(42, 49, 56….)
a1 = 42
r= 7

S20 = = (42+175) 10
= 2170
a20 = 42 +19 7 = 133+42= 175
a1 +…+ a11 = 20
a6 =
20 = a 6 11
a6 =