Suma kątów w trójkącie

Suma kątów w trójkącie
Jest jedna zasada według której można zawsze oblicz miarę wszystkich kątów w trójkącie. Jeżeli któreś z jego kątów są już podane to wystarczy zauważyć, że zawsze wszystkie kąty razem mają 180 stopni w przypadku każdego trójkąta.

α + β + γ = 180 stopni

Zawsze niezależnie jakie maja miary poszczególne kąty to i tak wiadomo, że wszystkie razem mają zawsze sto osiemdziesiąt stopni.

Trójkąty prostokątne

Trójkąty prostokątne mają swoją cechę: jeden z ich kątów zawsze ma dziewięćdziesiąt stopni. Taki kąt jest zaznaczony łukiem i kropką w środku. Jeżeli zobaczymy taki trójkąt to będzie nam łatwiej obliczyć jego kąty, ponieważ nawet jeśli zostanie podana miara tylko jednego kąta, to my jesteśmy w stanie policzyć miarę każdego z nich. Wystarczy od stu osiemdziesięciu odjąć podany kąt i dziewięćdziesiąt stopni, ponieważ ten jeden zaznaczony kąt ma taką miarę.

Trójkąty równoramienne
W trójkątach równoramiennych zawsze jeżeli jest podany tylko jeden kąt to można dzięki niemu obliczyć wszystkie pozostałe z nich. Musi być jedynie podany kąt na samej górze, wiadomo że kąty na dole na pewno są takiej samej długości w związku z czym mają również te same kąty. Jeżeli kąt u góry ma na przykład sto dziesięć stopni, to wystarczy odjąć sto dziesięć od stu osiemdziesięciu, a wynik podzielić jeszcze na dwa (na dwa ponieważ trzeba to podzielić na dwa kąty znajdujące się przy podstawie).

Trójkąty równoboczne
Miary kątów w trójkątach równobocznych zawsze są do obliczenia najłatwiejsze, ponieważ wszystkie z kątów mają tę samą miarę. Wystarczy więc podzielić sto osiemdziesiąt na trzy i wynik to będzie miara wszystkich z kątów. Jeżeli zapamiętamy, że sto osiemdziesiąt podzielić na trzy to sześćdziesiąt, wówczas będziemy już znali miarę kątów w każdym trójkącie równobocznym.

Zadanie 1
Oblicz miary niepodanych kątów w trójkątach przedstawionych na poniższym rysunku.

a) Na taki trójkąt nie ma żadnej zasady, po prostu wystarczy odjąć oba kąty od stu osiemdziesięciu, a wynik będzie tym kątem na górze tego trójkąta.
180°– 45°– 60° = 75°

Odpowiedź: Trzeci z kątów w trójkącie ma miarę 75 stopni.

b) Ten kąt również może zostać obliczony normalnym sposobem.
180° – 54° – 79° = 47°

Odpowiedź: Jeden z kątów ma 54, drugi 79, natomiast trzeci 47 stopni.

c) Ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym, dzięki temu mimo iż jest podany tylko jeden bok to możemy obliczyć miary jego kątów. Jeden z nich ma miarę dziewięćdziesiąt stopni, a drugi jest podany.
180° – 90° – 51° = 39°

Odpowiedź: Trzeci z kątów w tym trójkącie prostokątnym ma miarę 39 stopni.

d) Tutaj mamy podany tylko jeden kąt, jednak drugi z nich możemy obliczyć na podstawię kąta, który przylega do trójkąta. Kąt ten przylega do jednego z kątów w trójkącie, takie kąty tworzą kąt półpełny, czyli sto osiemdziesiąt stopni. Najpierw więc trzeba obliczyć miarę drugiego z kątów, a dopiero potem odjąć oba kąty od stu osiemdziesięciu, aby uzyskać miarę trzeciego z kątów.

180° – 65° = 115°
180° – 115° – 28° = 37°
Odpowiedź: Trzeci z kątów w tym trójkącie ma miarę trzydzieści siedem stopni.

e) Trójkąt ten to trójkąt równoramienny, w związku z czym oba kąty przy podstawie mają tę samą miarę. Jeżeli odejmiemy miarę tego podanego kąta od miary wszystkich kątów, to wyjdzie nam miara dwóch kątów (tych przy podstawie) razem, dlatego trzeba to jeszcze podzielić na dwa.

180° – 108° = 72°
72° : 2 = 36°

Odpowiedź: Oba z kątów przy podstawie mają miarę trzydzieści sześć stopni, razem mają one siedemdziesiąt dwa stopnie.

f) Jest to trójkąt równoramienny, w związku z tym wszystkie kąty mają tę samą miarę. Żeby uzyskać tę samą miarę we wszystkich kątach, trzeba podzielić sumę wszystkich kątów na trzy (bo tyle jest kątów).

180° : 3 = 60°

Odpowiedź: Każdy z kątów w tym trójkącie ma miarę 60 stopni.

Zadanie 2
Kąt pewnego trójkąta ostrokątnego (czyli takiego którego wszystkie kąty mają miarę mniejszą niż dziewięćdziesiąt stopni) wynosi 62°. Drugi z kątów nie ma podanej miary, jednak kąt do niego przylegający ma miarę 105 stopni. Na tej podstawie oblicz miarę trzeciego z kątów.

Najpierw należy obliczyć miarę kąta do którego przylega kąt 105 stopni:
180° – 105° = 75°

A teraz trzeba policzyć miarę trzeciego kąta:
180 ° – 62° – 75° = 43°

Odpowiedź: Trzeci z kątów w tym trójkącie ma miarę czterdziestu trzech stopni.