Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Ciąg liczbowy ( an) jest ciągiem geometrycznym wtedy, gdy każdy kolejny wyraz różni się od swojego poprzednika o q razy (q to stała liczba, nazywana ilorazem ciągu geometrycznego).

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego – Sn
n – liczba określająca ilość wyrazów

S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
…
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + … + an

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
dla q ≠ 1

dla q = 1

Przykład 1:
Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, którego pierwszym wyrazem jest liczba wynosi 14, a iloraz ciągu geometrycznego jest równy 3.

Wiemy, że:
a1 = 14
q = 3
n = 5

Podstawiamy dane do wzoru:

Odpowiedź: Suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu geometrycznego wynosi 1694.

Przykład 2:
Drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a piąty wynosi 32. Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.

Wiemy, że:
a2 = 4
a5 = 32
n = 7

Aby obliczyć sumę ciągu geometrycznego potrzebujemy najpierw poznać a1 oraz q.
W tym celu korzystamy we wzoru na wyraz ogólny ciągu geometrycznego

Podstawiamy dane do wzoru i otrzymujemy dwa równania:

Co po przekształceniu daje nam

oraz

Co po przekształceniu daje nam

W obu równaniach mamy wyprowadzone wzory na a1 więc możemy podstawić jeden wzór do drugiego:

Rozwiązujemy równanie, z którego otrzymamy wartość q:

Następnie obliczamy a1:

Mamy już wszystkie dane więc możemy obliczyć sumę:

Odpowiedź: Suma siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 254.