Symbol newtona

Liczba kombinacyjna jest funkcją matematyczną, która podaje ilość możliwości, jak z n-pierwiastkowego zbioru wybrać k-pierwiastkowy podzbiór, pod warunkiem, że k;n są liczbami całkowitymi nieujemnymi i k jest większe albo równe n. Jest zapisywana różnymi zposobami na przykład , , albo sybolem Newtona, czyli (czytaj n nad k).

Stosowany jest naprzykład podczas określania następnych wierszów trójkąta Pascala.

Trójkąt Pascala, zaczynamy jedynką i następne wiersze określamy jako sumę liczb które są nad nią. No niestety nie można bez znajomości poprzedniego wiersza tworzyć następne i wtedy wchodzą grę symbole newtona, ponieważ z nimi możemy określić następne i poprzednie wiersze trójkąta Pascala.
Trójkąt pascala:

Pomiędzy liczbami Netona obowiązują następujące zależności: , , , za pomocą tych wzorów można określić trzy trzy, jeżeli mamy liczbę Newtona , możemy określić wiersz jako , za pomocą wzoru wiersz poprzedni jako i za pomocu wzoru jako

Zamiana liczb Newtona na liczby:

Oczywiście możemy zamienić liczby Netona na normalne liczby, obowiązuje zależność, że ,gdzie ! oznacza silnię (iloczyn liczb naturalnych, zawsze o jeden miejszych, idących za sobą, na przykład )=. Czyli mając liczbę Newtona .

Potęga dwumianu

To wszystko, co robiliśmy do teraz nam może pomóc określić współczynniki potęgi dwumianów. Najprostszym takim wzorem, który wszyscy znamy jest , jak popatrzymy na trzeci wiersz trójkąta Pascala, są tam te same liczby, które pisaliśmy jako współczynniki. Akurat to jest proste, ale wyobraźmy sobie wzór , przy użyciu takiego wzoru trudno zapamiętać współczynniki i mnożenie tych wszystkich liczb było by bardzo czasochłonne. Podczas używania takich wzorów nam bardzo upraszcza sprawę wzór dwumianowy, nazywany też wzorem Newtona, ogólnie go możemy zapisać jako , prostszym, ale bardziej czasochłonnym zapisem może być również ,
jest nazywane pierwszym członem, drugim członem, i tak dalej, ilość członów jest zawsze większa o 1 od n. Wypróbójmy sobie ten wzór w praktyce z powyż wspomnianym wzorem .
, teraz wystarczy zamienić liczby Netona na normalne liczby czyli i to jest równe

Zadania:

Zamień liczby Newtona na normalne liczby:






Wykonaj działanie, wynik podaj jako jedną liczbę Newtona:






Podaj współczynnik:
trzeciego członu ósmej potęgi sumy a i q
ostatniego członu piętnastej potęgi sumy p i r
siódmego członu piątej potęgi sumy z i x

Odpowiedzi:

Zamień liczby Newtona na normalne liczby:
4
126
wyrażenie nieokreślone, k jest większe od n
715
Wyrażenie nieokreślone, k i n nie należą do zbioru liczb całkowitych nieujemnych

Wykonaj działanie, wynik podaj jako jedną liczbę Newtona:






Podaj współczynnik:
28
1
0