Szereg harmoniczny

1. Czym jest szereg harmoniczny?

Szereg harmoniczny jest szeregiem liczbowym. Swoją nazwę zawdzięcza średniej harmonicznej, gdyż każdy wyraz tego szeregu jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów z nim sąsiadujących, począwszy już od drugiego wyrazu.

Aby to lepiej zrozumieć, najpierw przypomnijmy sobie średnią harmoniczną (oznaczamy ją jako lub ). Możemy ją wyliczyć dla liczb rzeczywistych różnych od (). Jej wzór wygląda następująco:

Przykładowo, średnia harmoniczna liczb 1, 2, 3 i 4 to:

Teraz przejdźmy do szeregu harmonicznego:
∞



Skąd nam się wzięło to ? Musimy się tu cofnąć do nazwy szeregu i obliczyć średnią harmoniczną dwóch liczb sąsiadujących z tym wyrazem. Mamy więc:

Możemy sobie też sprawdzić pierwsze wyrazu szeregu:

Łatwo możemy także udowodnić, że każdy wyraz (poza pierwszym) jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Weźmy za przykład .

Kolejnym twierdzeniem dotyczącym szeregu harmonicznego jest to, że jest on rozbieżny do . Udowodnił to w XIV wieku francuski duchowny i uczony Mikołaj z Oresme, przyrównując szereg harmoniczny do innego szeregu mniejszego od harmonicznego, którego sumy częściowe na pewno rosną do nieskończoności.

Tworząc owy inny szereg, zastępował każdy wyraz szeregu harmonicznego największą potęgą liczby , która nie przekracza tego wyrazu.

Mamy więc szereg harmoniczny:

Teraz zastępujemy każdy wyraz największą potęgą liczby , która jest równa lub mniejsza od tego wyrazu. , więc przepisujemy. Następnie , więc również przepisujemy. Teraz mamy , więc podnosimy do kwadratu i otrzymujemy . Tak samo mamy przy . Teraz przy podnosimy liczbę do sześcianu, by spełniła nierówność . Tak samo mamy z , i . I tak dalej.

Teraz możemy pododawać identyczne wyrazy ciągu: czy

Liczb w tym szeregu jest nieskończenie wiele, więc skoro on dąży do nieskończoności, to szereg harmoniczny także, gdyż jego suma jest nie mniejsza od tej. Zapiszemy to jako: