Szereg taylora

Aby wyjaśnić co to jest szereg taylora muszę najpierw wytłumaczyć kilka pojęć.

Pochodna funkcji:
Jest to miara szybkości (dynamikę) zmian, którą obserwujemy na wykresie badanej funkcji. Interpretując pochodną geometryczną funkcji jest to styczna w punkcie do tej funkcji.

Jak obliczać pochodne? (przykład 1)
Rozważmy funkcję:

Pochodną funkcji f(x) oznaczamy f'(x). Pochodna funkcji w postaci jest równa .
Poniżej pokaże jak to obliczyć:
f'(x)= 4*5x3 – 3*7x2 + 1

Przykład 2:
Pochodne niektórych funkcji:
f(x)=d ; f'(x)=0
f(x)= ; f'(x) =
f(x)=sin(x) ; f'(x)=cos(x)
f(x)=cos x ; f'(x)=-sin x
f(x)=tg x ; f'(x)=
f(x)=ctg x ; f'(x)=

Silnia:
Liczymy dla liczb naturalnych. Silnię dla liczby n liczymy mnożąc kolejne liczby zaczynając od 1, a kończąc na n. Silnię liczby n zapisujemy n!
5!=1*2*3*4*5=120

Szereg Taylora:
Pozwala zastąpić funkcję w pewnym jej otoczeniu (w pobliżu jakiegoś wyznaczonego punktu) wielomianami.

Założenia:
– niech p będzie liczbą naturalną
– argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste
– funkcja posiada pochodne do stopnia p+1
– x0 należy do liczb rzeczywistych

Wzór:

Liczba m to liczba pomiędzy x a x0.
f’ to pochodna funkcji f
f” to pochodna funkcji f’.

Zaprezentuję to teraz na prostym przykładzie:
Przyjmuję, że f(x) jest równe

W otoczeniu punktu 2 (więc x0 jest równe 2).

Obliczam kolejne pochodne funkcji f(x).




Obliczam wartości pochodnych w punkcie 2.



Podstawiam do wzoru Taylora.


Zatem rozwinięcie funkcji f(x) w otoczeniu punktu 2 jest wielomian

Zastosowanie:
Kolejne wyrazy w szeregu Taylora w coraz większym stopniu informują nas o zmienności funkcji w otoczeniu badanego punktu.
Wielomiany, które otrzymujemy w wyniku rozkłady funkcji możemy w prostszy sposób różniczkować, całkować, rozwiązywać równania i nierówności. Niewiele nam mówi informacja o wartości danej funkcji w punkcie np. jak będzie wyglądać ruch ciała w określonym miejscu. Poznając informacje, jakie daje nam szereg Taylora, czyli jak zachowuje się funkcja w otoczeniu tego punktu możemy przewidzieć jak zachowa się ciało chwilę póżniej lub wcześniej.