Szeregi liczbowe

Szeregi liczbowe

Wstęp:
W tym opracowaniu poznasz podstawowe informacje na temat szeregów liczbowych.

Czym jest szereg liczbowy:
W matematyce szeregiem liczbowym nazywamy nieskończoną sumę kolejnych wyrazów danego ciągu liczbowego. Przykładowo załóżmy, że mamy podany nieskończony ciąg liczbowy an. Suma jego wszystkich wyrazów, czyli: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ….. jest przykładem szeregu liczbowego.
Do zapisu szeregu używamy zazwyczaj symbolu „sigma” , czyli Σ. Przykładowo powyższy szereg a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ….. możemy zapisać jako:

(n = 1 oznacza, że pierwszym składnikiem sumy będzie „a1„,
a znak nieskończoności nad sigmą oznacza, że jest to nieskończona suma)

Zbieżność szeregów liczbowych:
Podobnie jak w przypadku ciągów, szeregi mogą być zbieżne lub rozbieżne.
O szeregu zbieżnym mówimy wtedy, gdy w wyniku sumy wszystkich jego składników powstaje nam pewna (stała) wartość liczbowa np.

Jest to szereg zbieżny, bo: =
(Składniki tego szeregu są zarazem wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q = )

O szeregu rozbieżnym mówimy natomiast wtedy, gdy suma wszystkich jego składników dąży do lub np.

(Jest to szereg rozbieżny, bo suma postaci: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +….. jest nieskończona (dąży do nieskończoności))

Podsumowanie:
Z tego opracowania mogłeś poznać podstawowe informacje na temat szeregów liczbowych.